【数据结构】树型结构详解 + 堆的实现（c语言）（附源码）

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前言

在编程的世界里，数据结构是构建高效、可靠软件大厦的基石。而当我们谈论起那些既经典又充满活力的数据结构时，堆无疑是一个不可忽视的存在。然而，在深入了解堆之前，让我们先回溯到其根源——树，这个在计算机科学中同样占据核心地位的数据结构。

一、树

1.树的概念与结构

与线性表不同，树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个节点所构成的有层次关系的数据结构。它的层次关系看起来就像是一棵倒挂的树：

2.树的相关术语

相比于线性表，树的逻辑结构较为复杂，所以出现了一些常用的术语，便于我们对树的结构进行分析。接下来我们结合上图来一一介绍这些术语及其含义。

1.根节点：就像树根一样，树中所有节点都是从节点A发出的，这样的节点叫做根节点。（一棵树只有一个根节点）

2.边：连接两个节点的线叫做树的边（一棵有N个节点的树具有N-1条边）。

3.父节点/双亲节点：对于一个节点，父节点/双亲节点可以理解为与其连接的上面的节点。如图所示，B,C,D,E的父节点都是A。（除根节点之外，所有节点有且仅有一个父节点）

4.子节点/孩子节点：与父节点相反，你是我的父节点，那么我就是你的子节点。对于节点A，则B,C,D,E都是它的子节点。

5.节点的度：一个节点有多少个子节点，那么它的度就是多少。例如：节点A的度为4，节点B的度为3，节点C的度为0。

6.树的度：所有节点的度的最大值叫做树的度。如图，这颗树的度就是4。

7.叶子节点/终端节点：度为0的节点称之为叶子节点/终端节点。如图，这颗树中的叶子节点为：F,G,H,C,L,M,J,K。

8.分支节点/非终端节点：度不为0的节点称之为分支节点/非终端节点。除了叶子节点外，其他节点都是分支节点。

9.兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点。例如，B,C,D,E是兄弟节点，F,G,H是兄弟节点。

10.节点的层次：由根节点开始，根节点为第一层；它的所有子节点为第二层；子节点的子节点为第三层；以此类推。

11.树的高度/深度：节点的最大层次叫做树的高度/深度。如图，这颗树的高度为4。

12.节点的祖先：对于一个节点，从根节点开始到该节点所经的所有节点（除该节点本身）都叫做该节点的祖先。例如：A,B是G的祖先，A,D,I是L的祖先。

13.路径：从任意节点开始，沿着边到达任意其他节点所经过的节点构成的序列叫做路径。例如：A到L的路径为：A-D-I-L。

14.子孙：与祖先相反，你是我的祖先，我就是你的子孙。例如，F,G,H是B的子孙；所有除A外的节点都是A的子孙。

15.森林：由m（m>0）棵互不相交的树（不同树之间没有相交节点）所构成的集合叫做森林。如图，如果将根节点A删除，剩下的子树组成的部分就是森林。

注意：树形结构当中，子树之间不能有相交的情况，否则就不是树。

如图，以下结构都不是树型结构：

3.树的表示方法

一般我们表示树时，会在节点中定义指向其子节点的指针，但是由于有些树各个节点的度不一定相同，定义的指针数也无法确定，所以就出现了孩子兄弟表示法。

顾名思义，孩子兄弟表示法就是定义指向子节点的指针和兄弟节点的指针：

struct TreeNode
{int data;//数据域struct TreeNode* child;//指向孩子的指针struct TreeNode* brother;//指向兄弟的指针
};

这样只需要指向节点的其中一个子节点，然后令其指向更多的兄弟节点，这样就能够表示一个节点的所有子节点了。我们画图表示一下该结构：

4.树型结构的实际应用场景

树型结构在计算机中是被广泛使用的。例如：操作系统中文件根目录与子目录之间的关系、数据库的索引、编译器中的语法树、网络路由协议的构成等。在这些实例中，树形结构对文件的访问、程序的运行效率有很大的帮助。

二、二叉树

1.二叉树的概念与结构

在树形结构当中，最常用的一种数据结构就是二叉树。所谓二叉树，指的是每一个节点的度不超过2的树。

一棵二叉树可以分为根节点、左子树、右子树，对于每一棵子树，也可以这样细分，直到其子树不存在为止。这里要注意：左右子树的次序不能颠倒。

2.二叉树的性质

二叉树有以下基本性质：

1.一棵非空二叉树的第 $i$ 层最多有 $2^{i-1}$ 个节点。

2.高度为 $h$ 的二叉树的最大节点个数是 $2^{h}-1$ 。

3.对于任何一颗非空二叉树，设其度为2的节点个数为 $a$ ，度为1的节点个数为 $b$ ，叶子节点个数为 $c$ ，边数为 $m$ ，则有 $2a+b=m$ 、 $a+b+c-1=m$ 、 $a=c-1$ 。

3.满二叉树

满二叉树是一种特殊的二叉树。它的定义如下：对于一个二叉树，如果它每一层的节点数都达到最大值（ $2^{i-1}$ ），它就是一个满二叉树。如图所示，这是一棵高度为3的满二叉树：

满二叉树的性质：具有 $n$ 个节点的满二叉树的高度 $h=log_{2}(n+1)$ 。

4.完全二叉树

完全二叉树也是一种特殊的二叉树。通俗的讲，一个完全二叉树需要满足两个条件：

1.对于一棵高度为N的二叉树，第1层到第N-1层的节点数均达到最大值。

2.最后一层的节点必须是从左到右连续排列的状态。

如图，这就是一个完全二叉树：

可以看出，在最后一层，H、I、J三个节点是从左到右连续排列的状态，而其他层的节点数均达到了最大值。当然，由于满二叉树满足完全二叉树的条件，所以它是一种特殊的完全二叉树。

5.二叉树的存储形式

一般来讲，二叉树的存储形式有两种：顺序存储结构和链式存储结构。

5.1 顺序存储结构

所谓顺序存储，就是用数组来存储二叉树的数据。我们画图表示一下数组存储二叉树数据的形式：

对比两图可以看出，对于非完全二叉树，它的顺序存储会浪费一定的空间，所以完全二叉树更适合顺序存储。

通常情况下，我们将采用顺序存储结构存储的完全二叉树叫做堆。

5.2 链式存储结构

与链表相同，链式存储结构是指用节点和指针来表示数据元素之间的逻辑关系。通常情况下，二叉树的链式存储结构分为二叉链和三叉链。二叉链的指针域包含左右孩子节点的地址；三叉链的指针域比二叉链多一个指向父节点的指针。

//二叉链
struct BTreeNode
{int data;struct BTreeNode* leftchild;struct BTreeNode* rightchild;
};

//三叉链
struct BTreeNode
{int data;struct BTreeNode* leftchild;struct BTreeNode* rightchild;struct BTreeNode* parent;
};

三、二叉树顺序结构--堆

之前我们提到，采用顺序存储结构存储的完全二叉树叫做堆。接下来我们深入学习堆并且尝试实现它的一些功能。

1.堆的结构特点和性质

堆除了满足完全二叉树的性质之外，它还有一些自身的特性。我们首先从堆的分类开始讲起。

堆可以被分为小堆和大堆。它们的区别如下：

1.小堆（小根堆）：根节点（堆顶）的值总是整个堆中的最小值，且堆中每个节点的值都小于等于其子节点的值。

2.大堆（大根堆）：根节点（堆顶）的值总是整个堆中的最大值，且堆中每个节点的值都大于等于其子节点的值。

注：堆的节点只是满足小于等于（大于等于）其子节点的值，而两兄弟节点之间的大小是没有要求的。

综上所述，堆具有以下性质：

1.堆总是一棵完全二叉树。

2.堆中的任意节点（非叶子节点）的值总是小于等于/大于等于其子节点的值。

由于堆的逻辑结构是完全二叉树，但是其物理结构是顺序存储的，为了体现其逻辑结构，有一套堆中节点关系的计算公式如下（重要）：

设堆中具有n个节点，按照数组下标 $0\sim n-1$ 对应每一个节点，则对于下标 $i$ 的节点：

1.其父节点的下标为： $(i-1)\div 2$ ( i 为0的节点无父节点)

2.其左孩子节点的下标为： $2i+1$ (孩子下标超过n-1，说明没有孩子节点)

3.其 右孩子节点 的下标为： $2i+2$ (孩子下标超过n-1，说明没有孩子节点)

2.堆的实现

2.1 堆的结构定义

看完了这么多的理论知识之后，我们正式开始实现一个小堆。由于堆的底层是数组，它的结构定义如下：

typedef int HPDataType;//定义堆的结构
typedef struct Heap
{HPDataType* arr;//数组起始指针int capacity;//堆的空间大小int size;//堆中有效数据个数
}HP;

2.2 方法的声明

以下是堆的常用方法声明：

//初始化
void HPInit(HP* php);//销毁
void HPDestroy(HP* php);//判空
bool HPEmpty(HP* php);//辅助函数交换两数据
void Swap(HPDataType* x, HPDataType* y);//堆的向上调整
void AdjustUp(HPDataType* arr, int child);//堆的向下调整
void AdjustDown(HPDataType* arr, int parent, int n);//插入
void HPPush(HP* php, HPDataType n);//删除
void HPPop(HP* php);//取堆顶数据
HPDataType HPTop(HP* php);

2.3 方法的实现

2.3.1 初始化

由于堆的底层是数组，初始化和销毁时的操作与顺序表相同。

//初始化
void HPInit(HP* php)
{assert(php);//防止传空指针php->arr = NULL;php->capacity = php->size = 0;
}

2.3.2 销毁

//销毁
void HPDestroy(HP* php)
{assert(php);//防止传空指针if (php->arr)//防止多次释放空间{free(php->arr);}php->arr = NULL;php->capacity = php->size = 0;
}

2.3.3 判空

当堆中有效数据为0时，堆即为空。

//判空
bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}

2.3.4 辅助函数交换两数据

这是一个辅助函数，用于之后插入和删除时交换堆中的数据元素。

//辅助函数交换两数据
void Swap(HPDataType* x, HPDataType* y)
{HPDataType tmp = *x;*x = *y; *y = tmp;
}

2.3.5 插入

一般情况下，我们进行插入操作时，是从数组尾部进行插入的。由于我们实现的是小堆，小堆的非叶子节点要小于等于其子节点的值，当我们从数组末尾插入数据时，新的元素可能会小于其父节点的值，就不满足堆的条件了。所以在数据插入之后，要对该数据进行向上调整，按照其值将其放在合适的位置。以下是一个元素进行向上调整的示例过程：

接下来，我们尝试实现插入操作和向上调整算法：

//插入
void HPPush(HP* php, HPDataType n)
{assert(php);if (php->capacity == php->size)//空间已满，需要增容{int NewCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->arr, NewCapacity * sizeof(HPDataType));//申请内存空间if (tmp == NULL)//内存申请失败，直接退出程序{perror("realloc");exit(1);}php->arr = tmp;//将申请好的空间赋值给起始指针php->capacity = NewCapacity;//设置新的空间大小}php->arr[php->size] = n;//插入新元素//此时的size没有自增，表示新元素的下标AdjustUp(php->arr, php->size);//向上调整php->size++;//调整之后，元素个数+1
}

//堆的向上调整
void AdjustUp(HPDataType* arr, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;//先找到父节点的下标while (parent >= 0)//父节点下标<0时，已越界{if (arr[child] < arr[parent])//若孩子节点的值小于父节点的值，就需要调整{Swap(&arr[child], &arr[parent]);//交换两元素//此时，新的孩子节点跑到了原来父节点的位置child = parent;parent = (child - 1) / 2;//确定新的父节点}else//其他情况说明已经调整完成，退出循环{break;}}
}

2.3.6 删除

堆在进行删除操作时，一般情况是在堆顶出数据的。如果我们直接删除堆顶数据，剩下的部分就不满足堆的条件，并且重新建堆十分麻烦。所以我们首先需要将堆顶数据A与数组最后一个数据B进行交换，然后删除数据A，再针对数据B进行向下调整。以下是数据删除和向下调整的示例：

现在，我们尝试实现删除操作和向下调整算法：

//删除
void HPPop(HP* php)
{assert(php);assert(!HPEmpty(php));//确保堆不为空Swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size - 1]);//交换堆顶元素和最后一个数据php->size--;//空间大小-1，相当于将最后一个数据删除//此时的size已经自减，表示有效数据个数AdjustDown(php->arr, 0, php->size);
}

//堆的向下调整
void AdjustDown(HPDataType* arr, int parent, int n)
{int child = parent * 2 + 1;//先找到左孩子的下标while (child < n)//当孩子节点下标>=n时，已越界{//若右孩子存在，则将左孩子和右孩子进行比较，找到更小的子节点便于调整交换，保证小堆的特性if (child + 1 < n && arr[child] > arr[child + 1]){child++;}if (arr[parent] > arr[child])//父节点的值大于子节点，需要调整{Swap(&arr[parent], &arr[child]);//此时父节点跑到了孩子节点的位置parent = child;child = parent * 2 + 1;//确定新的孩子节点}else//其他情况，调整完成退出循环{break;}}
}

2.3.7 取堆顶数据

由于堆存放在数组当中，堆顶数据即是数组的首元素，直接返回即可。

//取堆顶数据
HPDataType HPTop(HP* php)
{assert(php && !HPEmpty(php));return php->arr[0];
}

2.4 程序全部代码

程序全部代码如下：

typedef int HPDataType;//定义堆的结构
typedef struct Heap
{HPDataType* arr;//数组起始指针int capacity;//堆的空间大小int size;//堆中有效数据个数
}HP;//初始化
void HPInit(HP* php);//销毁
void HPDestroy(HP* php);//判空
bool HPEmpty(HP* php);//辅助函数交换两数据
void Swap(HPDataType* x, HPDataType* y);//堆的向上调整
void AdjustUp(HPDataType* arr, int child);//堆的向下调整
void AdjustDown(HPDataType* arr, int parent, int n);//插入
void HPPush(HP* php, HPDataType n);//删除
void HPPop(HP* php);//取堆顶数据
HPDataType HPTop(HP* php);//初始化
void HPInit(HP* php)
{assert(php);//防止传空指针php->arr = NULL;php->capacity = php->size = 0;
}//销毁
void HPDestroy(HP* php)
{assert(php);//防止传空指针if (php->arr)//防止多次释放空间{free(php->arr);}php->arr = NULL;php->capacity = php->size = 0;
}//判空
bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}//辅助函数交换两数据
void Swap(HPDataType* x, HPDataType* y)
{HPDataType tmp = *x;*x = *y; *y = tmp;
}//堆的向上调整
void AdjustUp(HPDataType* arr, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;//先找到父节点的下标while (parent >= 0)//父节点下标<0时，已越界{if (arr[child] < arr[parent])//若孩子节点的值小于父节点的值，就需要调整{Swap(&arr[child], &arr[parent]);//交换两元素//此时，孩子节点跑到了原来父节点的位置child = parent;parent = (child - 1) / 2;//确定新的父节点}else//其他情况说明已经调整完成，退出循环{break;}}
}//堆的向下调整
void AdjustDown(HPDataType* arr, int parent, int n)
{int child = parent * 2 + 1;//先找到左孩子的下标while (child < n)//当孩子节点下标>=n时，已越界{//若右孩子存在，则将左孩子和右孩子进行比较，找到更小的子节点便于调整交换，保证小堆的特性if (child + 1 < n && arr[child] > arr[child + 1]){child++;}if (arr[parent] > arr[child])//父节点的值大于子节点，需要调整{Swap(&arr[parent], &arr[child]);//此时父节点跑到了孩子节点的位置parent = child;child = parent * 2 + 1;//确定新的孩子节点}else//其他情况，调整完成退出循环{break;}}
}//插入
void HPPush(HP* php, HPDataType n)
{assert(php);if (php->capacity == php->size)//空间已满，需要增容{int NewCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->arr, NewCapacity * sizeof(HPDataType));//申请内存空间if (tmp == NULL)//内存申请失败，直接退出程序{perror("realloc");exit(1);}php->arr = tmp;//将申请好的空间赋值给起始指针php->capacity = NewCapacity;//设置新的空间大小}php->arr[php->size] = n;//插入新元素//此时的size没有自增，表示新元素的下标AdjustUp(php->arr, php->size);//向上调整php->size++;//调整之后，元素个数+1
}//删除
void HPPop(HP* php)
{assert(php);assert(!HPEmpty(php));//确保堆不为空Swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size - 1]);//交换堆顶元素和最后一个数据php->size--;//空间大小-1，相当于将最后一个数据删除//此时的size已经自减，表示有效数据个数AdjustDown(php->arr, 0, php->size);
}//取堆顶数据
HPDataType HPTop(HP* php)
{assert(php && !HPEmpty(php));return php->arr[0];
}

总结

今天我们学习了树、二叉树的概念，基本结构，以及二叉树顺序结构--堆的实现。由堆的特性所创造的排序算法--堆排序是一种效率很高的排序算法，在各种领域广泛使用。如果你觉得博主讲的还不错，就请留下一个小小的赞在走哦，感谢大家的支持❤❤❤