300.最长递增子序列
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
1. dp[i]的定义:
dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度
2. 状态转移方程：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
3. dp[i]的初始化
每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.
4. 确定遍历顺序
dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。
5. 打印
class Solution {
public:int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {int n = nums.size();if (n <= 1) return n;vector<int> dp(n, 1);dp[0] = 1;int res = -1;for(int i=1; i<n; i++){for(int j=0; j<i; j++){if(nums[i]>nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);}if (dp[i] > res) res = dp[i];}return res;}
};- 时间复杂度: O(n^2)
- 空间复杂度: O(n)
674. 最长连续递增序列
给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。
连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。
1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。
2. 确定递推公式
dp[i] = dp[i - 1] + 1;
既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums[i] 和 nums[i - 1]。
3. 初始化
以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。
4. 从前向后遍历。
5. 打印数组
class Solution {
public:int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {int len = nums.size();vector<int> dp(len, 1);int res =1;for(int i=1; i<len; i++){if(nums[i]>nums[i-1]){dp[i] = dp[i-1]+1;}res = max(dp[i], res);}return res;}
};- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
718. 最长重复子数组
给两个整数数组 A 和 B ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。
1. dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。
2. 确定递推公式
根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。
即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
3. dp数组如何初始化: 根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！
4. 确定遍历顺序：外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。从前往后
5. 打印数组
class Solution {
public:int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {vector<vector<int>> dp(nums1.size() + 1, vector<int>(nums2.size() + 1, 0));int res = 0;for(int i=1; i<=nums1.size(); i++){for(int j=1; j<=nums2.size(); j++){if(nums1[i-1]==nums2[j-1]){dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;}res = max(res, dp[i][j]);}}return res;}
};- 时间复杂度：O(n × m)，n 为A长度，m为B长度
- 空间复杂度：O(n × m)
1143.最长公共子序列
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
1. dp数组：dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]。
2. 确定递推公式
主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。
即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
3. dp数组如何初始化: 统一初始化为0
4. 遍历顺序：所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。
5. 打印数组
class Solution {
public:int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {vector<vector<int>> dp(text1.size()+1, vector<int>(text2.size()+1, 0));for(int i=1; i<=text1.size(); i++){for(int j=1; j<=text2.size(); j++){if(text1[i-1]==text2[j-1]){dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;}else{dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i-1][j]);}}}return dp[text1.size()][text2.size()];}
};- 时间复杂度: O(n * m)，其中 n 和 m 分别为 text1 和 text2 的长度
- 空间复杂度: O(n * m)