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k倍区间

原题目链接

题目描述

给定一个长度为 N 的数列 A₁, A₂, ⋯, Aₙ，如果其中一段连续的子序列 Aᵢ, Aᵢ₊₁, ⋯, Aⱼ (i ≤ j) 之和是 K 的倍数，我们就称这个区间 [i, j] 是 K 倍区间。

请你求出数列中总共有多少个 K 倍区间。

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输入描述

• 第一行包含两个整数 N 和 K (1 ≤ N, K ≤ 10⁵)。
• 接下来 N 行，每行一个整数 Aᵢ (1 ≤ Aᵢ ≤ 10⁵)，表示数列的每个元素。

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输出描述

输出一个整数，表示 K 倍区间的数量。

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输入样例

5 2
1
2
3
4
5

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输出样例

6

c++代码

#include<bits/stdc++.h>
#include<stdio.h>using namespace std;typedef long long ll;
ll N, K, ans = 0;
unordered_map<int, int> mp;
vector<ll> arr;int main() {scanf("%lld %lld", &N, &K);arr = vector<ll>(N + 1, 0);for (ll i = 1; i <= N; i++) {scanf("%lld", &arr[i]);arr[i] += arr[i - 1];}if (K == 1) {printf("%lld", (N * (N - 1)) / 2 + N);return 0;}for (int i = 0; i <= N; i++) mp[arr[i] % K]++;for (auto it = mp.begin(); it != mp.end(); it++) ans += ((it->second * (it->second - 1)) / 2);printf("%lld", ans);return 0;
}//by wqs

算法解析

首先前缀和想得到吧

for (ll i = 1; i <= N; i++) {scanf("%lld", &arr[i]);arr[i] += arr[i - 1];
}

现在有了前缀和数组

我们要找两个端点i, j，使得

(arr[j] - arr[i]) % k == 0
假设arr[j] % k = c, arr[i] % k = d，
根据取模公式(arr[j] - arr[i]) % k = c - d。
也就是我们要让c - d = 0，也就是c == d。
现在我们的任务转换为求有多少组i，j满足arr[i] % k == arr[j] % k。

for (int i = 0; i <= N; i++) mp[arr[i] % K]++;
for (auto it = mp.begin(); it != mp.end(); it++) ans += ((it->second * (it->second - 1)) / 2);//排列组合
printf("%lld", ans);