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考研408「查找」知识点全解析

一、顺序查找

1.1 定义与基本思想

顺序查找（Sequential Search）是一种线性查找算法，适用于无序或有序的线性表。其核心思想是从表的一端开始逐个比较元素，直到找到目标值或遍历完整个表。

时间复杂度：
• 最好情况：$O(1)$（目标在第一个位置）
• 最坏情况：$O(n)$（目标在最后一个位置或不存在）
• 平均情况：$O(n)$

适用场景：小规模数据或无序数据。

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1.2 算法实现与易错点

代码示例（C语言）：

int sequentialSearch(int arr[], int n, int key) {for (int i = 0; i < n; i++) {if (arr[i] == key) {return i; // 返回索引}}return -1; // 未找到
}

易错点：

1. 边界条件处理：循环条件是否包含i < n？若数组从1开始存储，需调整索引范围。
2. 哨兵优化：可在数组末尾设置哨兵（arr[n] = key），减少比较次数。

平均查找长度（ASL）：
• 查找成功：$\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n}i=\frac{n+1}{2}$
• 查找失败：$\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n}i=\frac{n+1}{2}$。

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1.3 真题与模拟题

2023年408真题：

对长度为n的顺序表进行查找，若采用顺序查找法，在等概率情况下查找成功的平均查找长度为（ ）。
A. $n$
B. $(n+1)/2$
C. $n/2$
D. ${\log }_{2}n$
答案：B
解析：平均查找长度公式为$\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n}i=\frac{n+1}{2}$。

模拟题1：
题目：设计一个顺序查找算法，在无序数组[3, 1, 4, 1, 5](@ref)中查找元素4，并说明哨兵优化如何减少比较次数。
解答：

int sequentialSearchWithSentinel(int arr[], int n, int key) {arr[0] = key; // 设置哨兵int i = n;while (arr[i] != key) {i--;}return i == n ? -1 : i; // 排除哨兵
}

优化效果：减少一次边界判断，时间复杂度仍为$O(n)$。

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二、二分查找

2.1 定义与适用条件

二分查找（Binary Search）要求有序顺序表，通过不断缩小搜索范围来定位目标值。其核心步骤为：

1. 确定中间位置mid。
2. 比较arr[mid]与目标值。
3. 调整搜索区间为左半部分或右半部分。

时间复杂度：$O(\log n)$。

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2.2 算法实现与难点

代码示例（非递归）：

int binarySearch(int arr[], int low, int high, int key) {while (low <= high) {int mid = low + (high - low) / 2; // 防止溢出if (arr[mid] == key) return mid;else if (arr[mid] < key) low = mid + 1;else high = mid - 1;}return -1;
}

难点与易错点：

1. 循环终止条件：必须为low <= high，否则可能漏查边界元素。
2. 中间值计算：避免整数溢出，应使用mid = low + (high - low) / 2而非(low + high)/2。
3. 判定树性质：二分查找生成的判定树是一棵平衡二叉树，查找成功时的ASL为${\log }_2(n)-1$。

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2.3 真题与模拟题

2021年408真题：

对长度为12的有序表进行二分查找，查找失败时最多需要比较（ ）次。
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
答案：B
解析：二分查找的最大比较次数为$\lceil {\log }_2(n+1)\rceil =4$。

模拟题2：
题目：有序数组[1, 3, 5, 7, 9](@ref)中查找元素6，画出二分查找的判定树并计算查找长度。
解答：

判定树层级：  
1. 根节点（mid=3）→ 比较6>5 → 右子树  
2. mid=7 → 比较6<7 → 左子树  
3. mid=5 → 比较6>5 → 右子树（无元素）  
查找长度：3次  

ASL：$(1\times 1+2\times 2+3\times 2)/5=1.8$。

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三、分块查找

3.1 定义与核心思想

分块查找（索引顺序查找）结合了顺序查找和二分查找的优点，将数据分为若干块，每块内用顺序查找，块间用二分查找。

时间复杂度：
• 查找成功：$O(\sqrt{n})$（假设块数与块内元素数平衡）
• 查找失败：$O(\sqrt{n})$

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3.2 算法实现与难点

代码示例：

// 块间二分查找
int blockSearch(int blocks[], int blockSize, int key) {int low = 0, high = blockSize - 1;while (low <= high) {int mid = low + (high - low) / 2;if (blocks[mid].max < key) low = mid + 1;else high = mid - 1;}// 块内顺序查找int start = (low - 1) * blockSize;for (int i = start; i < start + blockSize; i++) {if (arr[i] == key) return i;}return -1;
}

难点：

1. 块划分策略：块内无序时需用顺序查找，块间有序时可用二分查找。
2. 索引表维护：插入/删除操作需调整索引表，可能影响效率。

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3.3 真题与模拟题

2024年408真题：

设初始有序序列为[1, 3, 5, 7, 9, 12, 15, 18, 22, 25](@ref)，分块大小为3，查找元素18的步骤为（ ）。
A. 块间查找→块内查找
B. 块内查找→块间查找
C. 直接顺序查找
D. 直接二分查找
答案：A
解析：块间二分查找确定块索引为5（18 < 22），块内顺序查找找到元素。

模拟题3：
题目：设计分块查找算法，在块大小为4的索引表中查找元素15，并计算平均查找长度。
解答：

索引表：[5, 9, 15, 25](@ref)（块最大值）  
数据块：  
1-4:   
5-8:   
9-12:   
查找步骤：  
1. 块间二分查找确定块索引2（15 < 25）  
2. 块内顺序查找找到索引3  
ASL = (1+2+3)/4 = 1.5  

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四、哈希查找

4.1 定义与核心概念

哈希表（Hash Table）通过哈希函数将关键字映射到存储位置，实现$O(1)$时间复杂度的查找。关键问题包括：
• 哈希函数设计：除留余数法、平方取中法等。
• 冲突处理：开放定址法（线性探测、二次探测）、链地址法。

装填因子公式：$\alpha =\frac{表中记录数}{哈希表长度}$，一般要求$\alpha <0.75$。

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4.2 算法实现与难点

链地址法示例：

typedef struct HashNode {int key;struct HashNode* next;
} HashNode;HashNode* hashTable[TABLE_SIZE] = {NULL};void insert(int key) {int index = key % TABLE_SIZE;HashNode* newNode = (HashNode*)malloc(sizeof(HashNode));newNode->key = key;newNode->next = hashTable[index];hashTable[index] = newNode;
}int search(int key) {int index = key % TABLE_SIZE;HashNode* current = hashTable[index];while (current != NULL) {if (current->key == key) return index;current = current->next;}return -1;
}

易错点：

1. 探测序列选择：二次探测需保证步长为$1^2,-1^2,2^2,-2^2,...$，否则可能无法遍历全表。
2. 删除操作：开放定址法中删除记录需标记为“已删除”，否则破坏查找链。

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4.3 真题与模拟题

2018年408算法题：

设计算法找出数组中未出现的最小正整数。
参考解法：利用哈希表记录已出现的正整数，从1开始遍历查找。

模拟题4：
题目：哈希表长为7，哈希函数$H(key)=key\%7$，采用线性探测法处理冲突。依次插入关键字序列{8, 15, 22, 30}，画出最终哈希表结构，并计算查找成功的平均查找长度（ASL）。
解答：

地址	0	1	2	3	4	5	6
关键字	15	22	30	8
ASL = $\frac{1+2+3+1}{4}=1.75$。

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五、B树与B+树

5.1 定义与适用场景

B树和B+树是多路平衡查找树，适用于数据库和文件系统索引，支持高效的范围查询和动态数据插入。

B树性质：
• 每个节点最多有$m$个子节点（阶为$m$）
• 所有叶子节点在同一层。

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5.2 算法实现与难点

B树插入操作：

1. 从根节点开始查找合适的叶子节点
2. 若叶子节点未满，直接插入
3. 若叶子节点已满，分裂节点并调整父节点。

难点：

1. 节点分裂策略：需保证树的高度平衡，避免性能退化为链表。
2. 范围查询优化：B+树通过叶子节点链表加速范围遍历。

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5.3 真题与模拟题

2022年408真题：

B树中每个节点最多有5个子节点，根节点至少有（ ）个子节点。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
答案：B
解析：B树根节点至少有2个子节点（阶$m\ge 2$）。

模拟题5：
题目：设计B+树插入算法，在3阶B树中插入序列{10, 20, 5, 6, 15, 30}，并画出最终结构。
解答：

根节点分裂为和  
左子树插入15，右子树插入30  
ASL计算略（需遍历路径）  

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六、哈希表冲突处理（续）

6.1 链地址法（Chaining）

链地址法通过将哈希表的每个槽位指向一个链表，将冲突的元素存储在链表中。具体实现如下：

核心思想：
每个哈希表槽位（bucket）维护一个链表，当发生冲突时，将新元素插入对应槽位的链表尾部。

代码示例：

typedef struct HashNode {int key;struct HashNode* next;
} HashNode;HashNode* hashTable[TABLE_SIZE] = {NULL};void insert(int key) {int index = key % TABLE_SIZE;HashNode* newNode = (HashNode*)malloc(sizeof(HashNode));newNode->key = key;newNode->next = hashTable[index];hashTable[index] = newNode;
}int search(int key) {int index = key % TABLE_SIZE;HashNode* current = hashTable[index];while (current != NULL) {if (current->key == key) return index;current = current->next;}return -1;
}

优点：

1. 解决聚集问题：链表分散存储冲突元素，避免线性探测的聚集现象。
2. 动态扩容：链表长度可变，无需预先确定哈希表大小。

缺点：

1. 额外空间开销：需存储链表指针，空间复杂度较高。
2. 查找效率不稳定：链表过长时，查找时间可能退化为$O(n)$。

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6.2 再哈希法（Rehashing）

再哈希法通过使用多个哈希函数，逐步探测空闲位置。具体步骤如下：

核心思想：
当发生冲突时，使用第二个哈希函数计算步长，重新探测位置。公式为：
$$h_i(key)=(h_1(key)+i\cdot h_2(key))\%m$$
其中，$h_1$和$h_2$为两个不同的哈希函数，$i$为探测次数。

优点：

1. 均匀分布：二次哈希函数可减少探测序列的聚集性。
2. 灵活性：支持多种哈希函数组合，适应不同数据分布。

缺点：

1. 计算复杂度高：需多次调用哈希函数，性能开销较大。
2. 步长选择敏感：若$h_2$与$m$不互质，可能导致探测序列循环。

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6.3 双重哈希法（Double Hashing）

双重哈希法是再哈希法的一种优化，使用两个独立哈希函数，步长由第二个哈希函数决定。公式为：
$$h_i(key)=(h_1(key)+i\cdot h_2(key))\%m$$
其中，$h_2(key)$必须满足与$m$互质。

优点：

1. 最优探测序列：理论证明双重哈希法能保证最坏情况下$O(1)$的探测次数。
2. 避免聚集：探测序列跳跃性更强，减少元素堆积。

缺点：

1. 哈希函数设计复杂：需确保$h_2$与$m$互质，实现难度较高。
2. 扩容限制：哈希表扩容后需重新计算所有元素的哈希值。

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6.4 扩容策略

当哈希表负载因子$\alpha$超过阈值（通常为0.7）时，需扩容并重新哈希所有元素。具体步骤如下：

1. 扩容：将哈希表大小扩展为原大小的2倍，并选择一个质数作为新表长。
2. 重新哈希：使用原哈希函数计算新位置，或调整哈希函数以适应新表长。

示例：
原表长$M=11$，扩容后$M=23$（质数），重新计算所有元素位置。

优点：

1. 维持高效性能：负载因子降低后，查找、插入、删除操作均摊时间复杂度接近$O(1)$。
2. 减少冲突：更大的表空间降低哈希冲突概率。

缺点：

1. 时间开销大：扩容和重新哈希需$O(n)$时间。
2. 空间浪费：扩容后可能出现大量空闲槽位。

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6.5 不同冲突处理方法的对比与选择

方法	时间复杂度（均摊）	空间复杂度	聚集问题	实现复杂度	适用场景
链地址法	$O(1)$	$O(n)$	否	中等	冲突频繁、需动态扩容
开放定址法	$O(1)$（理想）	$O(n)$	是	低	冲突较少、表较小
再哈希法	$O(1)$	$O(n)$	否	高	需灵活探测序列
双重哈希法	$O(1)$	$O(n)$	否	中等	需最优探测序列

选择建议：

1. 链地址法：适用于冲突率高、需频繁插入/删除的场景。
2. 开放定址法：适用于冲突率低、表较小的场景。
3. 双重哈希法：适用于对探测序列均匀性要求高的场景。

---

6.6 真题与模拟题

2024年408真题：

哈希表采用链地址法处理冲突，若表长为13，哈希函数$H(key)=key\%13$，依次插入关键字序列{18, 14, 01, 68, 27, 55, 79}，画出哈希表结构。
答案：

索引 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|----|---|---|---|---|---|---|---|---|---|----|----|----|----|
| 关键字 |   |   |   | 18 | 14 | 01 | 68 | 27 | 55 | 79 |    |    |    |

模拟题6：
题目：设计双重哈希法，哈希表长为23，哈希函数$h_1(key)=key\%23$，$h_2(key)=5-(key\%5)$，插入元素{10, 20, 30}，计算探测序列。
解答：

插入10：
h1=10%23=10, h2=5-0=5 → 步长5
探测位置：10+5=15 → 空 → 插入插入20：
h1=20%23=20, h2=5-0=5 → 步长5
探测位置：20+5=25→25%23=2 → 空 → 插入插入30：
h1=30%23=7, h2=5-0=5 → 步长5
探测位置：7+5=12 → 空 → 插入