引言
在实际问题中，动态过程的瞬时性态往往难以直接分析，而研究其稳定状态的特征则更具实际意义。本章介绍如何通过微分方程稳定性理论，结合再生资源管理、种群竞争等案例，分析系统的平衡点及稳定性，为实际决策提供数学依据。
一、微分方程稳定性理论
1.1 基本概念
自治系统：若微分方程组不显含时间变量 t t t，则称为自治系统。例如：
d x d t = F ( x ) \frac{dx}{dt} = F(x) dtdx=F(x)
非自治系统可通过增补时间变量转化为自治系统。
相空间与轨线：
- 相空间是以状态变量为坐标的空间，如二维相平面。
- 轨线是系统解的曲线，相图是轨线的分布图。
平衡点（奇点）：
满足 F ( x 0 ) = 0 F(x_0) = 0 F(x0)=0 的点称为平衡点。例如，线性系统：
{ d x d t = a x + b y d y d t = c x + d y \begin{cases} \frac{dx}{dt} = ax + by \\ \frac{dy}{dt} = cx + dy \end{cases} {dtdx=ax+bydtdy=cx+dy
当 a d − b c ≠ 0 ad - bc \neq 0 ad−bc=0 时， ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 是唯一平衡点。
1.2 平衡点的稳定性
- 稳定：初始扰动后，系统始终保持在平衡点附近。
- 渐近稳定：系统最终回到平衡点。
- 不稳定：初始扰动导致系统远离平衡点。
定理 1（线性系统稳定性）：
对于系统 d x d t = A x \frac{dx}{dt} = Ax dtdx=Ax，若矩阵 A A A 的所有特征值实部均为负，则零解渐近稳定；若存在正实部特征值，则零解不稳定。
定理 2（非线性系统的线性近似）：
若非线性系统在平衡点处的 Jacobian 矩阵非奇异，则可用线性近似系统判断稳定性。但当线性近似系统为稳定中心时，原系统的稳定性需进一步分析。
二、再生资源的管理与开发
2.1 资源增长模型
假设鱼类数量 x ( t ) x(t) x(t) 服从 Logistic 方程：
x ˙ ( t ) = r x ( 1 − x N ) \dot{x}(t) = rx\left(1 - \frac{x}{N}\right) x˙(t)=rx(1−Nx)
- 平衡点： x 1 = 0 x_1=0 x1=0（不稳定）和 x 2 = N x_2=N x2=N（全局稳定）。
- 解的形式：
x ( t ) = N 1 + e − r t ( N − N 0 ) / N 0 x(t) = \frac{N}{1 + e^{-rt}(N - N_0)/N_0} x(t)=1+e−rt(N−N0)/N0N
2.2 资源开发模型
引入捕捞强度 E E E，模型修正为：
x ˙ ( t ) = r x ( 1 − x N ) − E x \dot{x}(t) = rx\left(1 - \frac{x}{N}\right) - Ex x˙(t)=rx(1−Nx)−Ex
- 平衡点： x 1 = 0 x_1=0 x1=0 和 x 2 = N ( 1 − E r ) x_2=N\left(1 - \frac{E}{r}\right) x2=N(1−rE)。
- 稳定性条件：当 E < r E < r E<r 时， x 2 x_2 x2 是稳定平衡点，持续产量为 h = E x 2 h = Ex_2 h=Ex2。
最大持续产量：
通过优化问题 h max = max ( E x 2 ) h_{\text{max}} = \max(Ex_2) hmax=max(Ex2)，得到：
E max = r 2 , h max = r N 4 E_{\text{max}} = \frac{r}{2}, \quad h_{\text{max}} = \frac{rN}{4} Emax=2r,hmax=4rN
2.3 经济效益模型
考虑成本 c c c 和价格 p p p，利润函数为：
R ( E ) = p N E ( 1 − E r ) − c E R(E) = pNE\left(1 - \frac{E}{r}\right) - cE R(E)=pNE(1−rE)−cE
最优捕捞强度为：
E max = r 2 ( 1 − c p N ) E_{\text{max}} = \frac{r}{2}\left(1 - \frac{c}{pN}\right) Emax=2r(1−pNc)
此时鱼量和利润均高于纯产量模型，体现经济约束的合理性。
三、种群的相互竞争模型
3.1 竞争方程
两个种群 x 1 x_1 x1 和 x 2 x_2 x2 的竞争模型：
{ x ˙ 1 = r 1 x 1 ( 1 − x 1 N 1 − σ 1 x 2 N 2 ) x ˙ 2 = r 2 x 2 ( 1 − σ 2 x 1 N 1 − x 2 N 2 ) \begin{cases} \dot{x}_1 = r_1x_1\left(1 - \frac{x_1}{N_1} - \sigma_1\frac{x_2}{N_2}\right) \\ \dot{x}_2 = r_2x_2\left(1 - \sigma_2\frac{x_1}{N_1} - \frac{x_2}{N_2}\right) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x˙1=r1x1(1−N1x1−σ1N2x2)x˙2=r2x2(1−σ2N1x1−N2x2)
- 平衡点： P 1 ( N 1 , 0 ) P_1(N_1,0) P1(N1,0)、 P 2 ( 0 , N 2 ) P_2(0,N_2) P2(0,N2)、 P 3 ( N 1 ( 1 − σ 1 ) 1 − σ 1 σ 2 , N 2 ( 1 − σ 2 ) 1 − σ 1 σ 2 ) P_3\left(\frac{N_1(1-\sigma_1)}{1-\sigma_1\sigma_2}, \frac{N_2(1-\sigma_2)}{1-\sigma_1\sigma_2}\right) P3(1−σ1σ2N1(1−σ1),1−σ1σ2N2(1−σ2))。
3.2 稳定性分析
- 若 σ 1 < 1 , σ 2 > 1 \sigma_1 < 1, \sigma_2 > 1 σ1<1,σ2>1， P 1 P_1 P1 稳定（乙灭绝，甲占优）。
- 若 σ 1 > 1 , σ 2 < 1 \sigma_1 > 1, \sigma_2 < 1 σ1>1,σ2<1， P 2 P_2 P2 稳定（甲灭绝，乙占优）。
- 若 σ 1 < 1 , σ 2 < 1 \sigma_1 < 1, \sigma_2 < 1 σ1<1,σ2<1， P 3 P_3 P3 稳定（共存）。
- 若 σ 1 > 1 , σ 2 > 1 \sigma_1 > 1, \sigma_2 > 1 σ1>1,σ2>1， P 3 P_3 P3 为鞍点（竞争结果依赖初始条件）。
总结
稳定性理论为分析复杂系统提供了有力工具。通过平衡点分析和线性近似，可快速判断系统长期行为，并在资源管理、生态保护等领域指导实践。下篇将深入讨论 Volterra 模型及其在渔业中的应用。