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博客主页： [小ᶻ☡꙳ᵃⁱᵍᶜ꙳] 本文专栏: C++

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💯前言

• 在计算机科学和数学中，自然对数底数 $e$ 是一个重要的数学常数，出现在许多算法和模型中。在本次分析中，我们将基于一个经典的编程题目，通过不同实现方法计算 $e$ 的值，探讨各种实现的优劣，最终总结出最佳实践和相关优化方案。本文将从题目介绍开始，逐步讲解每种实现方式的特点及适用场景，同时延伸到更广泛的优化和扩展。
  C++ 参考手册
  

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💯题目介绍

B2079 求出 e 的值

题目描述：

利用公式
$$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}$$
求自然对数底数 $e$ 的值，要求保留小数点后10位。

输入格式

输入只有一行，该行包含一个整数 $n$，表示计算 $e$ 时累加到 $1/n!$。

输出格式

输出只有一行，该行包含计算出来的 $e$ 的值，要求打印小数点后 10 位。

输入输出样例

• 输入 #1：

  10
  

• 输出 #1：

  2.7182818011
  

说明/提示

• 输入范围为 $2\le n\le 15$。
• 本题的阶乘增长较快，但计算范围内（$n\le 15$），可以通过合理的数据类型避免溢出。

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💯实现方法一：单层 for 循环计算

这是初学者常用的一种实现方法，逻辑清晰且代码简洁，能够直接累积计算每一项的值。以下为代码及详细分析：

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;int main() {int n = 0;cin >> n;             // 输入阶数 ndouble e = 1;         // 初始化 e 的值为公式第一项 1long long m = 1;      // 阶乘初始化为 1，使用 long long 避免溢出for (int i = 1; i <= n; i++) {  // 从第 1 项开始累加m *= i;         // 累乘计算阶乘 i!e += 1.0 / m;   // 累加当前项 1/i! 到 e}printf("%.10lf", e);  // 保留 10 位小数输出结果return 0;
}

运行逻辑解析

1. 变量初始化：

   • n 表示输入的阶数。
   • e 存储计算结果，初始值为 1（对应公式中的第 0 项）。
   • m 用于存储阶乘，初始值为 1。

2. 循环计算：

   • 从 1 开始，逐步累乘得到当前的阶乘值 $i!$。
   • 累加每一项的倒数值 $\frac{1}{i!}$ 到 $e$。

3. 输出结果：

   • 使用 printf 格式化输出，保留小数点后 10 位。

优点

• 效率高：每次计算利用上一次的结果，无需重复计算阶乘。
• 实现简单：逻辑直观，代码量少。
• 时间复杂度：$O(n)$。

不足

• 逻辑固定，适用于计算所有项都必须累加的场景。

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💯实现方法二：双层 for 循环计算

这是一种更贴近数学公式的实现方法，通过嵌套循环完成阶乘计算和累加。代码如下：

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;int main() {int n = 0;cin >> n;             // 输入阶数 ndouble e = 1;         // 初始化 e 的值为公式第一项 1for (int i = 1; i <= n; i++) {  // 外层循环控制累加项数long long m = 1;            // 初始化当前项阶乘为 1for (int j = 1; j <= i; j++) {  // 内层循环计算阶乘 i!m *= j;}e += 1.0 / m;               // 累加当前项到 e}printf("%.10lf", e);  // 保留 10 位小数输出结果return 0;
}

运行逻辑解析

1. 外层循环：

   • 控制当前计算项的序号，从 1 到 $n$。

2. 内层循环：

   • 逐步累乘，计算当前项的阶乘 $i!$。

3. 累加计算：

   • 将当前项 $\frac{1}{i!}$ 累加到 $e$ 中。

优点

• 逻辑清晰：每一层循环分别处理阶乘和累加。
• 贴近数学公式：非常直观地将公式分解为两部分。

不足

• 效率低：阶乘值每次都需要重新计算，存在大量重复计算。
• 时间复杂度：$O(n^2)$。

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💯实现方法三：while 循环实现

这是老师给出的实现方式，使用 while 循环控制计算过程，进一步简化了逻辑，同时保留高效性。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;int main() {int n = 0;cin >> n;             // 输入阶数 nint i = 1;            // 循环计数器，初始为 1double e = 1;         // 初始化 e = 1long long fac = 1;    // 阶乘初始化为 1while (i <= n) {      // 循环从 1 到 nfac *= i;         // 更新阶乘值e += 1.0 / fac;   // 累加当前项i++;              // 计数器自增}printf("%.10lf\n", e);  // 输出结果return 0;
}

运行逻辑解析

1. 变量初始化：

   • 循环计数变量 i 初始为 1，用于控制循环。
   • 阶乘值 fac 初始为 1，用于累乘计算。
   • 累加结果 e 初始为 1。

2. while 循环：

   • 当 $i\le n$ 时，计算当前项的阶乘，并累加其倒数到 $e$。

3. 输出结果：

   • 使用 printf 输出结果，保留小数点后 10 位。

优点

• 逻辑清晰：将循环控制变量与计算逻辑分离，代码条理性更强。
• 高效：与单层 for 循环一样，每次计算直接更新阶乘值，避免重复计算。
• 灵活性：while 循环适合条件控制较多的场景，易于扩展。

不足

• 与 for 循环相比，稍显冗长。

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💯对比与总结

效率对比

实现方式	时间复杂度	重复计算	灵活性
单层 for 循环	$O(n)$	无	中等
双层 for 循环	$O(n^2)$	有	中等
while 循环实现	$O(n)$	无	高

适用场景

1. 单层 for 循环：适合简单、固定范围的计算。
2. 双层 for 循环：更适合教学场景，便于逐步拆解公式。
3. while 循环：适合条件较复杂的计算，尤其是需要提前终止的场景。

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💯优化与扩展

提前终止优化

对于较大的 $n$，后续项对 $e$ 的贡献极小，可以通过设置阈值提前终止循环：

while (i <= n) {fac *= i;double term = 1.0 / fac;if (term < 1e-12) break;  // 如果当前项小于阈值，提前退出e += term;i++;
}

现代化输出

使用 C++ 的 cout 和 setprecision 输出结果：

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;int main() {int n;cin >> n;double e = 1;long long fac = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {fac *= i;e += 1.0 / fac;}cout << fixed << setprecision(10) << e << endl;return 0;
}

函数封装

将阶乘计算或 $e$ 的累加封装为函数，方便复用：

double calculateE(int n) {double e = 1;long long fac = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {fac *= i;e += 1.0 / fac;}return e;
}

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💯小结

本文通过一个经典的编程题目，探讨了 $e$ 的计算方法及其优化。无论是单层 for 循环、双层循环，还是 while 循环，各有其适用场景和优劣。根据实际需求选择合适的方法，同时可通过提前终止、现代化输出、函数封装等方式进一步优化。希望本文能为读者带来关于算法实现与优化的启发！

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