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1. 超越函数的定义：

1.1 代数函数：

如果函数$f(x)$ 满足以下代数等式，就是代数函数：
$P(x,y)=p_n(x)y^n+p_{n-1}(x)y^{n-1}+...+p_1(x)y+p_0(x)=0,[1.1]$
也就是说， 如果等式：
$p_n(x)f^n(x)+p_{n-1}(x)f^{n-1}(x)+...+p_1(x)f(x)+p_0(x)=0,[1.2]$
对于所有的$x$在函数$f$的定义域中都成立，这里$y$是关于$x$的函数，等式中的$y^n$或者$f^n(x)$的幂$n>=1$，方程中$y^i$或者$f^i(x)$的系数$p_i(x)$是关于x的实系数多项式，并且$p_n(x)$不等于0，(此处 $p_i(x)$的次数不必等于$i$)。

1.2 超越函数：

如果一个函数$f(x)$不是代数函数，就是超越函数，也就是说，它不满足任何形如$[1.1]$的代数方程；

2. 证明指数函数是超越函数：

可以采用反证法和无限下降法来证明$e^x$是超越函数：

2.1 证明：

假定$e^x$是代数函数，那么会有一组多项式函数$p_n(x),p_{n-1}(x),p_{n-1}(x),...,p_1(x),p_0(x)$，此处$n>=1$并且$p_n(x)$不等于0，使得等式
$p_n(x)(e^x{)}^n+p_{n-1}(x)(e^x{)}^{n-1}+p_{n-2}(x)(e^x{)}^{n-2}+...+p_1(x)(e^x)+p_0(x)=0,$
或者
$p_n(x)(e^{nx})+p_{n-1}(x)(e^{(n-1)x})+p_{n-2}(x)(e^{(n-2)x})+...+p_1(x)(e^x)+p_0(x)=0,[2.1]$
对于所有的x，在$e^x$的定义域成立，在所有那些使等式$[2.1]$能够成立的多项式中，找到$e^x$的次数$n$最小的那一组多项式。同时假定$p_0(x)$的次数为$m$，对$p_0(x)$求m+1次导数，可知：
$$\frac{d^{m+1}}{d{x}^{m+1}}{p}_0(x)=0,[2.2]$$
同时，对于$k=n,n-1,n-2,...,1,$ 有：
$$\frac{d}{dx}{p}_k(x)e^{kx}=p_k^{\prime }(x)e^{kx}+k{p}_k(x)e^{kx}=(p_k^{\prime }(x)+k{p}_k(x))e^{kx},$$ （求一次导数）

$$\frac{d^2}{d{x}^2}{p}_k(x)e^{kx}=(p_k^{\prime \prime }(x)+k{p}_k^{\prime }(x))e^{kx}+(k{p}_k^{\prime }(x)+k^2{p}_k(x))e^{kx}=(p_k^{\prime \prime }(x)+2p_k(x)+k^2{p}_k(x))e^{kx},$$
(求二次导数）

$$⋮$$

$$\frac{d^{m+1}}{d{x}^{m+1}}{p}_k(x)e^{kx}=q_x(x)e^{kx}$$
(求m+1次导数)

这里$q_x(x)$是$p_k(x)$的常数倍及其从一次到m+1次各阶导数的常数倍之和，如果$p_k(x)$不等于0，那么$q_k(x)$也就不等于0：因为这个多项式是各项不同次数之和；
因此$q_n(x)$不等于0，（事先已申明，$p_n(x)$不等于0)，那么，对等式 $[2.1]$两边求m+1次导数，可以得到：

$q_n(x)e^{nx}+q_{n-1}{e}^{(n-1)x}+...+q_1(x)e^x=0,[2.3]$

（注意到：因为$[2.2]$，这个等式消去了$q_0(x)$项);
左右两边除以 $e^x$（$x$在实数域，$e^x>0$，所以两边可以除$e^x$），可以得到：

$q_n(x)e^{(n-1)x}+q_{n-1}{e}^{(n-2)x}+...+q_1(x)=0,[2.4]$

对于所有的x，$q_n(x)$不等于0，并且$n-1>=0,$(因为已经申明$n>=1$)，如果$n=1$，那么$p_1(x)$不等于0，(因为$p_n(x)$不等于0)，从而$q_1(x)$不等于0，而由等式$[2.4]$，我们可以得到，$q_1(x)=0,$这就导致了矛盾，所以，我们可以推断：$n>1$;
由等式$[2.4]$我们可以知道：有另外一组多项式，使得$e^x$的最高次数为$n-1$时，$e^x$也符合代数函数的定义，这和最初的声明$n$是最小次数相矛盾，因此，$e^x$不是代数函数，而是超越函数。

3. 小结：

这个证明是通过代数函数的定义，反证法和无限下降法证得的，在这里，无限下降法可能不那么为人所知，和数学归纳法类似，无限下降法假定当前命题成立，然后推导出另外一个类似的命题，这个命题里面，某个数值会减小，一般是某个自然数，比如幂次，或者图形的长度等，因为自然数不可能无限制的减小下去，或者，当前自然数已经是最小的自然数（比如当前证明中的$e^x$的幂），从而导致矛盾，命题得到证伪。

这个证明是翻译了以下链接指向的网页：
Transcendency Of The Exponential Functions