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双线性变换使用双线性映射将 s-平面映射到 z-平面，这样可以避免频率混叠。通常被称为Tustin方法。

具体步骤：

1. 从模拟域传递函数 H(s)开始。
2. 用s = ( 2 / T ) * ( ( 1 - ( z^-1 ) ) / ( 1 + ( z^-1 ) )替换s。
3. 简化表达式，得到离散化后的传递函数 H(z)。

传递函数的频率相应可以通过将z替换成e^(jωT)来计算。其中，ω是连续角频率（单位为弧度/秒），T是采样周期。
传递函数H(z)替换之后，变成H(e^(jωT))。其中|H(e^(jωT))|是幅频响应。arctan(H(e^(jωT)))也就是H(e^(jωT))的相角为相位响应。
特别注意：网上部分资料用z=e^(jω)，此时ω=2πf⋅Ts​=2πf/Fs代表数字频率（单位为弧度/样本）。万不可混淆。

频响计算例1

题目

计算传递函数H(z)=1/(1 - 0.3 * z^（-1) )。采样频率Fs=8000Hz。求1000Hz频响和相位。

答案

• 将z=e^(jω)，代入H(z)。其中，ω=2πf⋅Ts​=2πf/Fs代表数字频率（单位为弧度/样本）

H(e^(jω)) = 1/(1 - 0.3 * e^(-jω) )

其中

ω = 2πf⋅Ts​=2πf/Fs
Ts = 1 / Fs = 1 / 8000 = 0.000125s
f = 1000

可得

ω = π / 4

也就是

H(e^(jω)) = 1/(1 - 0.3 * e^(-jω) )

可以化简为

H(e^(j(π / 4))) = 1/(1 - 0.3 * e^(-j(π / 4)) )

根据欧拉公式e^(jθ)=cos(θ)+jsin(θ)

e^(-j(π / 4)) = cos(−(π/4)​)+j * sin(−(π/4)​) = (√2 / 2) - j( √2 / 2 )

可以推导

|H(e^(jωT))| = 1 / | ( 1−( 0.15√2 )+( j⋅0.15√2​ ) ) | = 1 / √ ( 1− ( 0.15√2 ) )^2 + ( 0.15√2​ )^2 )

相位

其中

频响计算例2

题目

计算传递函数H(z)=1/(1 - 0.3 * z^（-2) )。采样频率Fs=8000Hz。求1000Hz频响和相位。

答案