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带你学透完全背包问题！ 和 01背包有什么差别？遍历顺序上有什么讲究？_哔哩哔哩_bilibili
好了,开始今天正文:
这是一篇纯分享总结内容的文章,想get背包问题的⬆ 强推卡哥的讲解视频
什么是背包问题?
我们一般使用weights[],values[]数组来存贮每个物品的重量和价值
01 背包
有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
对于01 背包问题
二维dp
dp数组的含义:
dp[i][j] 表示0 - i物品任取放入背包容量为j的背包中的最大价值
递推公式:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - W[j] + V[i])
dp[i-1][j-w[i]]表示选了当前第i个物品后只能从前i-1个物品中进行选择，并且扣除了当前第i个物品的weight；
而dp[i][j]的推导由取i 和 不取i物品获得的最大价值 取较大值进行推导的
初始化:
for(int j = 1; j <= n; j++) { if(j >= weights[0]) { dp[0][j] = values[0]; }
}二维dp代码:
import java.util.*;public class Main {public static void main (String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int m = sc.nextInt();int n = sc.nextInt();int[] values = new int[m];int[] weights = new int[m];for(int i = 0; i < m; i++) {weights[i] = sc.nextInt();}for(int i = 0; i < m; i++) {values[i] = sc.nextInt();}// dp[i][j] 表示0-i物品任取放入容量为j的背包中产生的最大价值int[][] dp = new int[m][n + 1];// 初始化for(int j = 1; j <= n; j++) {if(j >= weights[0]) {dp[0][j] = values[0];}}for(int i = 1; i < m; i++) { // 先物品for(int j = 0; j <= n; j++) { // 后背包容量if (j < weights[i]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j];} else {dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weights[i]] + values[i]);}}}System.out.println(dp[m - 1][n]);}
}一维dp(滚动数组)
对于背包问题其实状态都是可以压缩的。
在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。
这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。
dp数组的含义:
dp[i][j] 表示背包容量为j的背包中的最大价值
递推公式:
dp[j] = max(dp[j],dp[j - W[i]] + V[i]);
这里因为是滚动数组,每次都是滚动升级,需要依靠前面的状态
需要注意的是,在遍历背包的时候需要倒序遍历确保所有物品最多只取一次
一维dp代码:
import java.util.*;public class Main {public static void main (String[] args) {// 滚动数组Scanner sc = new Scanner(System.in);int m = sc.nextInt();int n = sc.nextInt();int[] values = new int[m];int[] weights = new int[m];for(int i = 0; i < m; i++) {weights[i] = sc.nextInt();}for(int i = 0; i < m; i++) {values[i] = sc.nextInt();}// dp[j] 表示放入容量为j的背包中产生的最大价值int[] dp = new int[n + 1];// 初始化dp[0] = 0;for(int i = 0; i < m; i++) { // 先物品for(int j = n; j >= 0; j--) { // 后背包容量if(j >= weights[i]) {dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j - weights[i]] + values[i]);}}}System.out.println(dp[n]);}
}完全背包
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。
二维dp
dp数组的含义:
dp[i][j] 表示0 - i物品任取放入背包容量为j的背包中的最大价值
递推公式:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - W[j] + V[i])
dp[i][j-w[i]]表示尽管我选了当前物品，也把当前物品的weight从背包容量中扣除了，但是我仍然可以在这i个物品中继续选择。
与01背包问题其区别在于每个物品是否可重复选。
二维dp代码:
import java.util.*;public class Main {public static void main (String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int v = sc.nextInt();int[] weights = new int[n];int[] values = new int[n];for(int i = 0; i < n; i++) {weights[i] = sc.nextInt();values[i] = sc.nextInt();}int[][] dp = new int[n][v + 1];for(int j = 0; j <= v; j++) {if(j == 0) {dp[0][j] = 0;} else {int k = j / weights[0];dp[0][j] = k * values[0];}}for(int i = 1; i < n; i++) {for(int j = 0; j <= v; j++) {if(j < weights[i]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j];} else {dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j],dp[i][j - weights[i]] + values[i]);}}}System.out.println(dp[n - 1][v]);}
}一维dp
与01背包问题代码区别就是在遍历背包数量的时候使用正序遍历
其中原由: 代码随想录 (programmercarl.com)
一维dp代码:
import java.util.*;public class Main {public static void main (String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int v = sc.nextInt();int[] weights = new int[n];int[] values = new int[n];for(int i = 0; i < n; i++) {weights[i] = sc.nextInt();values[i] = sc.nextInt();}int[] dp = new int[v + 1];for(int i = 0; i < n; i++) {for(int j = weights[i]; j <= v; j++) {dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j - weights[i]] + values[i]);}}System.out.println(dp[v]);}
}