算法篇之数位dp
数位dp
概念:
数位dp
是一种计数用的dp,一般是要统计一个区级[l,r]内满足一些条件的数的个数- 所谓数位dp,就是对数位进行dp,也就是个位、十位等
- 相对于普通的暴力枚举,数位dp快就快在它的记忆化,也就是说后面可能会利用到前面已经计算好的东西
- 题型往往是:给定一个闭区间[L,R],求这个区间中满足"某种条件"的数的总数量
题型特征:
- 要求统计满足一定条件的数的数量(即,最终目的为计数);
- 这些条件经过转化后可以使用「数位」的思想去理解和判断;
- 输入会提供一个数字区间(有时也只提供上界)来作为统计的限制;
- 上界很大(比如1018),暴力枚举验证会超时。
总结:给定一个闭区间[L,R],求这个区间中满足"某种条件"的数的总数量
基本原理:
考虑人类计数的方式,最朴素的计数就是从小到大开始依次加一。但我们发现对于位数比较多的数,这样的过程中有许多重复的部分。例如,从 7000 数到 7999、从 8000 数到 8999、和从 9000 数到 9999 的过程非常相似,它们都是后三位从 000 变到 999,不一样的地方只有千位这一位,所以我们可以把这些过程归并起来,将这些过程中产生的计数答案也都存在一个通用的数组里。此数组根据题目具体要求设置状态,用递推或 DP 的方式进行状态转移。,而我们的统计就是由记忆化搜索解决
具体实现:
-
数位dp首先通常把统计[L,R]范围内满足条件的数字转化为统计[1,N]内满足条件的数字数量,这样就将下界限制去掉,只考虑上边界。就变成:
Ans[L,R]=Ans[1,R]-Ans[1,L-1]
-
将数字大小转换为数位字典序,也就是记录最大枚举到的数字每一位的数值(例如R为123456,那word[1]=6,word[2]=5依次类推)。我们称这个数组为
word[n+1]
-
DFS要记录的状态:
- 现在枚举到哪一位,记为
pos
- 前面一位的数字是多少,记为
pre
- 这一位可以填的最大数字,记为
up
,但是求解过程我们会以flag
来表示是否需要更新up
- 现在枚举到哪一位,记为
-
我们开始从最高位到最低位枚举,对于当前位置x有两种填补可能性:
- 如果
x前面某一位已经小于对应位置的上限数字
,则这一位可以填0-9
- 如果
x前面每一位都等于对应位置的上限数字
,这一位可填数字范围为0-x对应位置的上限数字
所以,我们只需要维护前面每一位数字是否和上限数字一样,就可以得到这个位置数字可填范围
- 如果
-
如果
flag为false
,那么dfs计算的过程就和up毫无关系,那么我们可以考虑把这个状态答案记录下来,用于后面复用
模板:
//pos为当前位数
//pre代表前一位所填数字
//flag代表前面每一位数字是否都等于对应的上限数字
int dfs(int pos,int pre,bool flag){//如果pos<=0表示枚举完每一位,那返回对应要返回的值if(pos<=0) return 需要返回值;//如果该状态已经计算过了就返回if(!flag&&dp[pos][pre]!=-1) return dp[pos][pre];//如果flag为true,up就为对应的上限数字,反之就为9int up=flag?word[pos]:9;int cnt=0; //计数for(int i=0;i<=up;++i){if(判断数位是否满足条件) cnt+=dfs(pos-1,i,flag&&(i==up)); //如果满足就继续搜索}//记录状态if(!flag) dp[pos][pre]=cnt;return cnt;
}
例题:
-
Windy数
:定义不含前导0且相邻两个数字之差至少为2的正整数被称为windy数,比如5,36,192都是windy数,10,21不是windy数,求[L,R]范围内有多少个Windy数,1<=L,R<=1e18;#include <bits/stdc++.h> using namespace std;typedef long long ll; ll word[20]; ll dp[30][10];//lead是用来判断前面一位是否为0 ll dfs(ll pos,ll pre,bool flag,bool lead){if(pos<=0) return 1;//因为不含前导0,所以pre要大于0if(!flag&&pre>0&&dp[pos][pre]!=-1) return dp[pos][pre];int up=flag?word[pos]:9;ll cnt=0;for(int i=0;i<=up;++i){//因为要求不含前导0,所以当前面一位为0,说明这一位就为数的开始,所以算是符合条件if(abs(i-pre)>=2||lead) cnt+=dfs(pos-1,i,flah&&(i==up),lead&&(i==0));}if(!flag) dp[pos][pre]=cnt;return cnt; }ll solve(ll x){int pos=0;memset(dp,-1,sizeof dp);while(x){word[++pos]=x%10;x/=10;}return dfs(pos,0,1,1); }int main(){ll a,b;while(cin>>a>>b) cout<<solve(b)-solve(a-1)<<endl;return 0; }
-
统计整数数目
:
class Solution {
public:int min_sum,max_sum;int dp[23][401];char word[25];const int mod=1e9+7;int dfs(int pos,int sum,bool flag){if(pos<=0) return sum>=min_sum;if(!flag&&dp[pos][sum]!=-1) return dp[pos][sum];int up=flag?word[pos]-'0':9;int res=0;for(int i=0;i<=up;++i){if(sum+i<=max_sum) res=(res+dfs(pos-1,sum+i,flag&&(i==up)))%mod;}if(!flag) dp[pos][sum]=res;return res;} int solve(string x){int pos=0;for(int i=x.size()-1;i>=0;--i) word[++pos]=x[i];return dfs(pos,0,1);}int count(string num1, string num2, int min_sum, int max_sum) {int n=num1.size()-1;while(num1[n]=='0'){num1[n]='9';n--;}num1[n]--;memset(dp,-1,sizeof dp);this->min_sum=min_sum;this->max_sum=max_sum;return (solve(num2)-solve(num1)+mod)%mod;}
};