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在深度学习中，概率论和数理统计是理解许多算法背后的理论基础。这些知识在处理不确定性、估计模型参数、理解数据分布等方面非常关键

1、概率

一种用来描述随机事件发生的可能性的数字度量，表示某一事件发生的可能性。

概率并不客观存在，是一种不确定性的度量。它的范围在【0,1】之间，0表示不可能发生，1表示必然发生。

概率公式：P(A) = 事件A发生的次数/总事件数

在深度学习中，概率用于表示模型预测某一结果的可能性。例如，分类问题中，输出为某一类别的概率。

2、概率和深度学习

概率论在深度学习中的应用广泛，它帮助我们理解模型的不确定性、推理和决策过程。

概率可以用来表示模型的准确率。概率可以用来描述模型的不确定性。概率可以作为模型损失的度量。

概率在深度学习中的作用包括：

模型的不确定性：如在贝叶斯神经网络中，权重是随机变量，通过概率表示模型的不确定性。
损失函数的定义：如交叉熵损失函数，是基于概率的度量。
生成模型：如变分自编码器（VAE）和生成对抗网络（GANs）都基于概率理论来生成新数据。

3、概率的研究

3.1 频率学派（Frequentist Probability）

频率学派定义概率为长期重复试验中事件发生的相对频率，即在无限次试验中，某事件发生的频率会趋近于某个稳定值。因此概率计算公式

$P_{n}(x) = \frac{n_{x}}{n}$ ，即 $P(x) = \lim_{n \to \infty } P_{n} (x)$ 注：n是实验的总次数

3.1.1 典型应用：

大规模的实验数据，如质量控制中的产品抽样检验、医学研究中的临床试验等。

3.1.2 不足之处：

依赖大量实验：频率学派的定义依赖于无限次的重复实验。实际中，我们往往只能进行有限次实验，尤其在某些领域（如医学、天文），难以进行大量实验，这使得频率定义的概率无法准确反映现实情况。
不能处理单次事件：频率学派无法为一次性事件（如某个人是否会罹患某种疾病）提供合理的概率估计。这种情况使得频率学派在许多实际场景中无法给出明确答案。
不能处理主观信念：频率学派仅依赖于观察数据，无法量化基于个人信念或历史经验的主观判断。这在某些领域（如预测未来事件）表现出局限性。

3.2 古典学派（Classical Probability）-- 平均主义的倡导者

无法掌握先验知识的情况下，未知事件发生的概率都是相等的。

古典学派的概率理论起源于17世纪，基于对称性和等可能性概念进行推导。它的基本思想是：如果一个实验的所有可能结果数量有限，并且这些结果的发生机会是均等的，那么事件A的概率可以定义为 $P(x) = \frac{m}{n}$

3.2.1 典型应用：

抛硬币、掷骰子等简单实验，其中所有结果都是等可能的。

3.2.2 不足之处：

依赖于等可能性假设：古典学派要求所有结果的发生是等可能的，但在实际问题中，等可能性常常难以实现。例如，无法保证现实生活中的每个事件都是等概率的。
不适合复杂问题：对于较为复杂的现象（如金融市场或生物实验），结果往往不具有对称性和等可能性，古典学派的适用性有限。
主观性限制：古典学派的概率值只能用于那些有明确对称结构的情况，缺乏普遍性。

3.3 贝叶斯派（Bayesian Probability） -- 探索未知世界的观察者

频率学派认为概率是随机性，贝叶斯派认为概率是不确定性的。

贝叶斯学派将概率视为一种对不确定事件的主观信念或程度的度量，概率可以根据新的证据进行更新。贝叶斯定理是贝叶斯学派的核心，表示为： $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

P(A∣B) 是在B发生的情况下A发生的概率，称为A的后验概率。
P(B∣A) 是在A发生的情况下B发生的概率。
P(A) 是A的先验概率，即不考虑B的情况下A发生的概率。
P(B) 是B的先验概率，即不考虑A的情况下B发生的概率。

贝叶斯学派允许通过新的证据不断更新概率，这使得它在处理动态和不确定性方面表现优异。

3.3.1 典型应用：

贝叶斯分类器：如朴素贝叶斯分类器，用于文本分类、垃圾邮件过滤等。
贝叶斯神经网络：在深度学习中用于建模参数的不确定性。
推理与决策：贝叶斯方法广泛应用于医疗诊断、金融预测和科学推理。

3.3.2 不足之处：

先验分布的主观性：贝叶斯学派需要假设一个先验概率，这通常基于经验或主观判断，因此在某些情况下可能存在人为偏差。如果先验信息不准确，后验结果可能会有偏差。
计算复杂性：贝叶斯方法在处理复杂模型时计算量很大，尤其是当需要通过积分计算后验概率时，通常需要使用近似方法（如蒙特卡洛模拟），增加了计算难度。
数据依赖性：贝叶斯方法在小样本条件下可能效果不佳，因为当数据不足时，后验概率过于依赖主观先验，导致推断不准确。

3.4 各学派的优缺点对比

学派	优点	缺点	适用场景
古典学派	简单易懂，适用于对称性强、结果均等可能的情况	仅适用于等可能事件，无法处理复杂问题或主观概率	适合简单且对称的实验，但在复杂问题中力不从心
频率学派	基于实验数据，提供长期稳定的概率估计	无法处理一次性事件，依赖大量实验，不能处理主观信念	适用于大规模实验数据，但在处理小样本或一次性事件时效果不佳
贝叶斯学派	允许通过新证据更新概率，能够处理主观信念和先验知识，灵活性强	先验分布的选择带有主观性，复杂模型计算复杂度高，可能对小样本数据过于依赖	以其灵活性和动态更新能力，成为不确定性推断中的强大工具，但也因其依赖先验分布和计算复杂性而具有一定挑战性

学派

优点

缺点

适用场景

古典学派

简单易懂，适用于对称性强、结果均等可能的情况

仅适用于等可能事件，无法处理复杂问题或主观概率

适合简单且对称的实验，

但在复杂问题中力不从心

频率学派

基于实验数据，提供长期稳定的概率估计

无法处理一次性事件，依赖大量实验，不能处理主观信念

适用于大规模实验数据，

但在处理小样本或一次性事件时效果不佳

贝叶斯学派

允许通过新证据更新概率，能够处理主观信念和先验知识，灵活性强

先验分布的选择带有主观性，复杂模型计算复杂度高，可能对小样本数据过于依赖

以其灵活性和动态更新能力，成为不确定性推断中的强大工具，

但也因其依赖先验分布和计算复杂性而具有一定挑战性

4、概率论和数理统计

4.1 区别和联系

概率论研究的是一次事件的结果，即随机事件的发生规律
数理统计研究的是总体数据的情况，即如何通过观察数据对随机现象进行推断。
概率论是数理统计的基础（概率论中的知识，如分布、联合概率等，是数理统计中推导和估计的基础），数理统计则是根据观测的数据反向思考数据生成的过程

方面	概率论	数理统计
研究对象	随机现象及其规律	从数据中推断未知参数或现象
核心问题	计算事件发生的概率	从样本数据推断总体特征，估计参数
工具	随机变量、概率分布、联合概率、条件概率等	假设检验、点估计、区间估计、回归分析等
应用领域	主要用于理论分析	主要用于实际数据分析，尤其是在实验设计和数据分析中
关联	概率论为数理统计提供理论基础	数理统计基于概率论进行推断

5、事件（Event）

事件：指随机试验结果的一个集合, 例如，在掷一枚骰子的试验中，“出现偶数”就是一个事件，它包含了{2, 4, 6}这三个可能的结果。
随机事件（Random Event）：指一次或多次随机实验的结果，即在一次实验中可能发生也可能不发生的事件。比如抛硬币，出现正面是随机事件。
依赖事件（Dependent Events）：指的是事件的发生受其他事件的影响,。例如，从不放回抽卡中，抽到一张特定卡的概率会随着已抽卡变化。用条件概率表示同时发生的概率：

$P(A\cap B) = P(A)* P(B|A)$

$P(B|A)$ 表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率

独立事件（Independent Events）：指的是事件的发生与其他事件无关，例如，抛两次硬币，第一次结果不影响第二次。 $P(A\cap B) = P(A) * P(B)$

6、随机变量

随机变量是定义在样本空间上的函数，用来表示每个实验结果的数值。分为离散型和连续型。

7、概率分布

概率分布用来描述随机变量的分布情况。

在离散型分布中，通过概率质量函数（PMF）描述每个值的概率；

在连续型分布中，我们通过概率密度函数（PDF）描述概率的密度。

离散型分布：

定义：随机变量只能取有限个或可数个值，其概率通过概率质量函数（PMF）来表示。

常见的离散型分布：

二项分布：描述了n次独立的伯努利试验中成功的次数。
泊松分布：用于描述在单位时间内某个事件发生的次数。

连续型分布：

定义：随机变量可以取无限个值，其概率通过概率密度函数（PDF）来表示。

常见的连续型分布：

均匀分布：所有值的概率密度相同。
正态分布：又称为高斯分布，描述自然界中广泛存在的随机现象。

正态分布的概率密度函数为：

$f(x) = (\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}})exp(- \frac{x-\mu ^2}{2\sigma ^2})$ （其中，μ是均值，σ^2是方差)

8、概率密度（Probability density）

一种描述概率分布的函数，表示在某一区间内取一个特定值的概率

概率=概率密度曲线下的面积

9、正态分布（Normal Distribution）

也称为高斯分布（Gaussian Distribution）。

正态分布由两个参数完全描述：均值（mean）𝜇 和方差（variance）𝜎^2。均值决定了分布的中心位置，而方差则决定了分布的宽度。正态分布概率密度函数：

$f(x) = (\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}})e^{(- \frac{x-\mu ^2}{2\sigma ^2})}$ ，其中 𝑒e 是自然对数的底数，大约等于 2.71828

正态分布的性质

对称性：正态分布是以均值为中心的对称分布。
峰度：标准正态分布（均值为 0，方差为 1）具有最高的峰度（kurtosis），其峰度值为 3。
尾部：正态分布有轻尾特性，即极端值出现的概率相对较小。
68-95-99.7规则（经验法则）：对于任何均值和方差的正态分布，大约 68% 的值落在均值的一个标准差内，大约 95% 的值落在均值的两个标准差内，大约 99.7% 的值落在均值的三个标准差内。

10、联合概率和条件概率

联合概率：多个事件同时发生的概率，对于两个事件A和B，联合概率记为 $P(A\cap B)$
条件概率：在某个条件下发生某个事件的概率，记为 $P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

条件概率在深度学习中的应用包括朴素贝叶斯分类器，它假设每个特征是条件独立的。

联合概率和条件概率的转化：

$P(A \cap B) = P(A|B)P(B)$ 即 $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

11、贝叶斯定理

表明在已知条件概率的情况下，可以推导出联合概率。常用于，根据已知信息预测未知信息的场景

$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

贝叶斯定理在深度学习中的应用之一是贝叶斯神经网络。

12、先验（Prior）后验（Posterior）

先验概率：在观测到数据之前，对参数的初始信念。
反映了我们对模型参数或隐变量在看到数据之前的信念。它是我们基于已有知识对参数 𝜃θ 的初始估计。在数学上，可以表示为 𝑃(𝜃)。
后验概率：根据观测数据，利用贝叶斯定理更新后的概率分布。

13、极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation MLE）

利用已知的样本结果，反推最有可能导致这样结果的参数值，即找到参数的最大概率取值

定义：假设我们有一组观测数据 $D =\left \{ x_{1},x_{2}...,x_{n} \right \}$ ,并且假设数据是由某个参数化的概率分布

$P(X|\theta)$ 生成的，这里的 θ 表示未知的参数向量。

我们的目标是找到 θ 的最优估计值 $\hat{\theta }$ ，使得观测数据 D 在该参数下的概率最大。

为了实现这个目标，我们可以定义似然函数 𝐿(𝜃∣𝐷) 为给定参数 θ 下数据 D 的联合概率：

$L(\theta | D) = P(D|\theta)=\prod_{i=1}^{n}P(x_{i}|\theta)$

这里假设每个观测 $x_{i}$ 是独立同分布（i.i.d.）的。由于直接计算联合概率可能不方便，通常会取对数来简化乘积运算，并且对数函数是单调递增的，因此极大化似然等价于极大化对数似然：

$logL(\theta | D) = \sum_{i=1}^{n}logP(x_{i}|\theta )$

然后，我们寻找参数 θ 的值，以最大化上述对数似然函数。即求解：

$\hat{\theta }=argmax\pounds (\theta |D)$

在深度学习中的应用

在深度学习中，模型通常是一个复杂的神经网络，其中参数 𝜃θ 包括权重和偏置项。训练一个神经网络的目标就是调整这些参数，以便正确地映射输入数据到输出数据。使用 MLE 作为训练目标意味着我们希望找到一组参数，使得网络对于训练集上的所有样本都能产生正确的预测概率分布。

例如，在分类任务中，我们可能会使用softmax层来将模型的输出转换为类别概率分布。在这种情况下，我们通常使用交叉熵损失（cross-entropy loss），它是对数似然的一种形式，来度量模型的预测与实际标签之间的差异，并通过最小化这个损失来训练模型。

总之，极大似然估计是一种强大的工具，可以帮助我们在机器学习和深度学习中找到合适的模型参数。

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1、概率

2、概率和深度学习

3、概率的研究

3.1 频率学派（Frequentist Probability）

3.1.1 典型应用：

3.1.2 不足之处：

3.2 古典学派（Classical Probability）-- 平均主义的倡导者

3.2.1 典型应用：

3.2.2 不足之处：

3.3 贝叶斯派（Bayesian Probability） -- 探索未知世界的观察者

3.3.1 典型应用：

3.3.2 不足之处：

3.4 各学派的优缺点对比

4、概率论和数理统计

4.1 区别和联系

5、事件（Event）

6、随机变量

7、概率分布

8、概率密度（Probability density）

9、正态分布（Normal Distribution）

正态分布的性质

10、联合概率和条件概率

11、贝叶斯定理

12、先验（Prior）后验（Posterior）

13、极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation MLE）

在深度学习中的应用

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3.1.1 典型应用：

3.1.2 不足之处：

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3.2.1 典型应用：

3.2.2 不足之处：

3.3 贝叶斯派（Bayesian Probability） -- 探索未知世界的观察者

3.3.1 典型应用：

3.3.2 不足之处：

3.4 各学派的优缺点对比

4、概率论和数理统计

4.1 区别和联系

5、事件（Event）

6、随机变量

7、概率分布

8、概率密度（Probability density）

9、正态分布（Normal Distribution）

正态分布的性质

10、联合概率和条件概率

11、贝叶斯定理

12、先验（Prior） 后验（Posterior）

13、极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation MLE）

在深度学习中的应用

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12、先验（Prior）后验（Posterior）