浅谈欧拉函数

欧拉函数

定义

对于任意的正整数 $n$，欧拉函数 $\varphi (n)$ 表示小于等于 $n$ 的所有数中与 $n$ 互质的数的个数。

暴力实现

那么根据定义，不难直接打出一个时间复杂度 $O(n)$ 的代码，枚举所有小等于 $n$ 的数字 $i$，若 $\gcd (n,i)=1$ 则答案 $+1$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans;
int gcd(int x,int y)
{return !y?x:gcd(y,x%y);
}
int main(){scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)if(gcd(i,n)==1)ans++;printf("%d\n",ans);return 0;
}

很显然，这段代码效率不够高。有没有什么可以优化的地方？

欧拉函数推导

先根据定义可知以下几点：

• $\varphi (1)=1$
• 若 $n$ 为质数，则 $\varphi (n)=n-1$，即除了 $n$ 自己外全都算。
• 若 $n=p^k$，则 $\varphi (n)=p^k-p^{k-1}$。因为只有一个数不含质数 $p$，才可以与 $n$ 互质。所以就要剪掉包含质数 $p$ 的那 $p^{k-1}$ 个数字。而 $p^k-p^{k-1}=p^k(1-\frac{1}{p})=p^k\frac{p-1}{p}$。
• 若 $n=ab$，其中 $a,b$ 互质，则 $\varphi (n)=\varphi (a)\times \varphi (b)=(a-1)\times (b-1)$。反过来也一样，$\varphi (ab)=\varphi (a)\times \varphi (b)$。
• 若 $n=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\cdots p_i^{k_i}\cdots p_m^{k_m}$，则根据第三点，可表示为 $p_1^{k_1}\frac{p_1-1}{p_1}{p}_2^{k_2}\frac{p_2-1}{p_2}\cdots p_m^{k_m}\frac{p_m-1}{p_m}$。

再把 $p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\cdots p_m^{k_m}$ 拎出来，发现正好等于 $n$，所以结果就变成了：
$$\varphi (n)=n(\frac{p_1-1}{p_1})(\frac{p_2-1}{p_2})\cdots (\frac{p_m-1}{p_m})$$
根据这个公式，我们就可以枚举 $p_i$ 去求解 $\varphi (n)$。代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans;
int main(){scanf("%d",&n);ans=n;if(n==1)//特判{printf("1\n");return 0;}for(int i=2;i*i<=n;i++){if(n%i==0){ans=ans*(i-1)/i;//公式while(!(n%i))//能整除就一直除下去n/=i;}}if(n>1)//如果n还没有除尽ans=ans*(n-1)/n;printf("%d\n",ans);return 0;
}