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题目

837. 新 21 点

算法标签: 数学, 概率, 动态规划

思路

定义状态表示为$f[i]$, 表示分数达到$i$的时候的概率, 分析状态计算, 假设当前的分数是$i$, 抽取到的牌得分数是$x$, 那么当前状态就会转移到$f[i+x]$, 状态转移方程如下

$$dp[i]=\frac{1}{\text{maxPts}}\left(dp[i+1]+dp[i+2]+\cdots +dp[i+\text{maxPts}]\right)$$

计算时间复杂度, 外层枚举分数, 内层也需要枚举分数, 总的时间复杂度来到了$O(n^2)$, 时间复杂度过高, 需要进行优化, 推$i=i-1$时的表达式

$$dp[i-1]=\frac{1}{\text{maxPts}}\left(dp[i]+dp[i+1]+\cdots +dp[i+\text{maxPts - 1}]\right)$$

设$t=maxPts$, $f[i]=\frac{f[i+1]\times t+f[i+1]-f[i+t+1]}{t}$, 整理后得到

$$f[i]=f[i+1]+\frac{f[i+1]-f[i+t+1]}{t}$$

这样就将时间复杂度降低到$O(n)$

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <map>using namespace std;const int N = 2e4 + 10;class Solution {
public:double new21Game(int n, int k, int maxPts) {if (k == 0) return 1.0;//当前分数是i, 并且分数不超过n的概率double f[N] = {0};for (int i = k; i <= n && i < k + maxPts; ++i) f[i] = 1.0;//计算当前分数是i再抽一张牌, 得分不超过n的概率f[k - 1] = 1.0 * min(n - k + 1, maxPts) / maxPts;for (int i = k - 2; i >= 0; --i) {f[i] = f[i + 1] + (f[i + 1] - f[i + maxPts + 1]) / maxPts;}return f[0];}
};