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内容摘要：
本文系统解析因子分析的核心原理与MATLAB实战，涵盖数学模型、载荷矩阵估计、因子旋转及得分计算。通过上市公司盈利能力、消费者偏好等案例，演示数据标准化、因子提取与解释的全流程，并提供完整代码实现。深入对比因子分析与主成分分析的异同，助力读者掌握高维数据降维与潜在结构挖掘的关键技术。

关键词：因子分析 因子载荷 因子旋转 MATLAB实现 主成分分析—

1. 因子分析概述

因子分析（Factor Analysis）是一种多元统计方法，旨在通过研究变量间的内部依赖关系，提取潜在公共因子以简化数据结构。由心理学家Spearman于1904年提出，广泛应用于心理学、经济学、生物学等领域。其核心目标是通过少数几个不可观测的公共因子（Latent Factors）解释原始变量的主要信息，解决高维数据分析中的维度灾难问题。

与主成分分析（PCA）的区别：

• 目标不同：PCA是变量变换，因子分析是构建潜在因子模型。
• 解释性：因子分析强调因子含义的可解释性，PCA侧重信息保留。
• 数学基础：PCA基于协方差矩阵分解，因子分析基于变量协方差结构建模。

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2. 因子分析数学模型

2.1 基本模型

设原始变量为 $X_1,X_2,\dots ,X_p$，标准化后为 $Z_1,Z_2,\dots ,Z_p$，因子分析模型可表示为：
$$Z_i=a_{i1}{F}_1+a_{i2}{F}_2+\cdots +a_{im}{F}_m+U_i(i=1,2,\dots ,p)$$
其中：

• 公共因子：$F_1,F_2,\dots ,F_m$（$m<p$），解释变量间的共同变异。
• 特殊因子：$U_i$，表示变量特有变异，满足 $U_i\sim N(0,{\sigma }_i^2)$。
• 因子载荷：$a_{ij}$，反映变量 $Z_i$ 与因子 $F_j$ 的相关性。

矩阵形式为：
$$Z=AF+U$$
其中 $Z$ 为标准化变量向量，$A$ 为因子载荷矩阵，$F$ 为公共因子向量，$U$ 为特殊因子向量。

2.2 模型假设

1. 公共因子与特殊因子独立：$\text{Cov}(F,U)=0$。
2. 公共因子协方差矩阵为单位阵：$\text{Cov}(F)=I_m$。
3. 特殊因子协方差矩阵为对角阵：$\text{Cov}(U)=\text{diag}({\sigma }_1^2,\dots ,{\sigma }_p^2)$。

2.3 核心指标

• 变量共同度：$h_i^2={\sum }_{j=1}^m{a}_{ij}^2$，反映公共因子对变量 $Z_i$ 的解释程度。
• 因子贡献率：$S_j={\sum }_{i=1}^p{a}_{ij}^2$，衡量因子 $F_j$ 的重要性，等价于特征值 ${\lambda }_j$。

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3. 因子载荷矩阵的估计方法

3.1 主成分分析法

基于相关系数矩阵 $R$ 的特征分解，提取前 $m$ 个主成分作为公共因子：

1. 特征分解：$R=Q\Lambda Q^T$，其中 $\Lambda =\text{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_p)$。
2. 载荷矩阵：$A=(\sqrt{{\lambda }_1}{\eta }_1,\dots ,\sqrt{{\lambda }_m}{\eta }_m)$，${\eta }_j$ 为特征向量。

MATLAB代码示例：

[vec, val, con] = pcacov(R);  % 特征分解
A = vec(:,1:m) * diag(sqrt(val(1:m)));  % 构造载荷矩阵

3.2 主因子法

通过约相关系数矩阵 $R^{\ast }=R-D$（$D$ 为特殊方差矩阵）估计载荷矩阵：

1. 初始估计：假设 $h_i^2={\max }_{j\ne i}|r_{ij}|$ 或复相关系数平方。
2. 特征分解：对 $R^{\ast }$ 进行分解，得到载荷矩阵。

特点：适用于特殊方差已知或可估计的场景。

3.3 极大似然估计法

假设数据服从多元正态分布，通过最大化似然函数迭代求解载荷矩阵和特殊方差。
优点：统计性质优良；缺点：计算复杂度高。

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4. 因子旋转

为提高因子解释性，对载荷矩阵进行正交旋转（如方差最大法），使因子结构更清晰。

4.1 方差最大法（Varimax）

目标：最大化因子载荷平方的方差，使每列载荷值两极分化。
旋转矩阵：
$$Q=\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)$$
通过优化 $\varphi$ 使旋转后载荷矩阵的方差最大。

MATLAB实现：

[b, T] = rotatefactors(A, 'method', 'varimax');  % 旋转载荷矩阵

4.2 案例：消费者偏好分析

对5项食品评价指标进行因子分析，旋转后载荷矩阵如下：

指标	旋转因子1（常闭因子）	旋转因子2（滞缺因子）
味道	0.027	0.9854
价格	0.8734	0.0034
风味	0.1329	0.9705
快餐	0.8178	0.4035
能量	0.9734	-0.0179

结论：因子1反映价格与能量属性，因子2反映味道与风味属性。

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5. 因子得分计算

5.1 巴特莱特因子得分

通过加权最小二乘法估计因子得分：
$$\hat{F}=(A^T{D}^{-1}A{)}^{-1}{A}^T{D}^{-1}Z$$
其中 $D$ 为特殊方差对角矩阵。

5.2 回归法

利用回归系数矩阵估计因子得分：
$$\hat{F}=Z{R}^{-1}A$$

MATLAB代码示例：

coef = inv(R) * A;          % 得分系数矩阵  
score = Z * coef;           % 计算因子得分  

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6. 因子分析步骤

1. 数据标准化：消除量纲影响。
2. 计算相关系数矩阵：评估变量相关性。
3. 提取公共因子：根据特征值或累积贡献率选择因子数。
4. 因子旋转：优化载荷矩阵结构。
5. 解释因子：结合业务背景命名因子。
6. 计算因子得分：用于后续分析（如回归、聚类）。

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7. 实战案例：上市公司盈利能力分析

7.1 数据与指标

16家上市公司的4项盈利指标：销售净利率、资产净利率、净资产收益率、销售毛利率。

7.2 分析步骤

1. 标准化数据：消除量纲差异。
2. 计算相关系数矩阵：验证变量相关性。
3. 提取主因子：选择累积贡献率>85%的因子（前2个）。
4. 因子旋转：方差最大法优化解释性。
5. 计算综合得分：
   $$F=0.531Z_1+0.1615Z_2-0.1831Z_3+0.5015Z_4$$

结果：烟台万华、五粮液等公司盈利能力领先，方正科技、湖北宜化等排名靠后。

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8. MATLAB核心函数详解

8.1 pcacov：主成分分析

[vec, val, con] = pcacov(R);  % R为相关系数矩阵  
% vec: 特征向量，val: 特征值，con: 贡献率  

8.2 rotatefactors：因子旋转

[b, T] = rotatefactors(A, 'method', 'varimax');  
% b: 旋转后载荷矩阵，T: 正交变换矩阵  

8.3 factoran：因子分析（需谨慎使用）

[Lambda, Psi, T, stats, F] = factoran(X, m, 'rotate', 'varimax');  
% Lambda: 旋转载荷矩阵，F: 因子得分  

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9. 总结

1. 因子分析优势：降维、提取潜在结构、提升模型解释性。
2. 关键步骤：因子提取、旋转、得分计算。
3. 应用场景：消费者行为研究、财务指标分析、社会科学调查。

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