德摩根定理
文章目录
- 德摩根定理
- 1、概述
- 2、德摩根定理
- 2.1 德摩根第一定理
- 2.2 德摩根第二定理
- 3、德摩根定律的等效门
德摩根定理和定律可用于找到 NAND 和 NOR 门的等效项。
1、概述
德摩根定理使用两组规则或定律来解决各种布尔代数表达式，将 OR 改为 AND，将 AND 改为 OR
布尔代数使用一组定律和规则来定义数字逻辑电路的操作，用“0”和“1”来表示数字输入或输出条件。 布尔代数使用这些零和一来创建真值表和数学表达式，以定义逻辑 AND、OR 和 NOT（或反转）运算的数字运算以及表达其他逻辑运算（例如 XOR（异或））的方式函数。
虽然乔治·布尔的一套定律和规则允许我们分析和简化数字电路，但他的定律和规则中有两条定律是由 Augustus DeMorgan（一位 19 世纪的英国数学家）提出的，它将逻辑 NAND 和 NOR 运算视为独立的 NOT AND 和 NOT OR 函数。
但在我们更详细地了解德摩根理论之前，让我们提醒自己基本的逻辑运算，其中 A 和 B 是逻辑（或布尔）输入二进制变量，其值只能是“0”或“1”，产生四种可能 输入组合 00、01、10 和 11。
每个逻辑运算的真值表如下表所示：
下表列出了常见逻辑函数及其等效的布尔符号，其中“.” （点）表示 AND（乘积）运算，“+”（加号）表示 OR（求和）运算，变量的补数或逆数由变量上方的横线表示。
2、德摩根定理
德摩根定理基本上是使用两个输入变量 A 和 B 从 AND、OR 和 NOT 的布尔表达式发展而来的两组规则或定律。这两个规则或定理允许输入变量被求反并从一种形式的布尔值转换 函数变为相反的形式。
德摩根的第一个定理指出，两个（或多个）变量 NOR´ed 在一起与两个变量反转（补码）和 AND´ed 相同，而第二定理指出两个（或多个）变量 NAND´ed 在一起是相同的 作为两个变量的倒置（补码）和或运算。 即用 AND 运算符替换所有 OR 运算符，或者用 OR 运算符替换所有 AND 运算符。
2.1 德摩根第一定理
德摩根第一定理证明，当两个（或多个）输入变量进行“与”运算并取反时，它们相当于各个变量的补集的“或”运算。 因此，NAND 函数的等效项将是负或函数，证明 A . B ‾ = A ‾ + B ‾ \overline{A.B} = \overline A+\overline B A.B=A+B。 我们可以使用下表来展示此操作。使用真值表验证德摩根第一定理如下：
我们还可以使用如图所示的逻辑门来证明 A . B ‾ = A ‾ + B ‾ \overline{A.B} = \overline A+\overline B A.B=A+B。