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本文是将文章《近似线性可分支持向量机的原理推导》中的公式单独拿出来做一个详细的解析，便于初学者更好的理解。

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公式 9-40 解释：

$$\underset{\alpha }{\min }\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j(x_i\cdot x_j)-\sum _{i=1}^N{\alpha }_i$$

$$\text{s.t.}\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i=0,0\le {\alpha }_i\le C,i=1,2,\dots ,N$$

公式 9-40 是 近似线性可分支持向量机（SVM） 的对偶问题，通过对原始问题（公式 9-39）进行拉格朗日对偶优化推导而来。这个公式转化后的问题是通过优化对偶变量 ${\alpha }_i$ 来求解。

1. 对偶问题的背景：

在支持向量机的优化过程中，原始问题可以通过拉格朗日对偶理论转化为对偶问题。转化后的对偶问题可以让我们使用更有效的算法来解决，尤其是当数据量较大时，对偶问题的求解往往比原始问题更高效。

2. 公式的组成部分：

(1) 目标函数：

$$\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j(x_i\cdot x_j)-\sum _{i=1}^N{\alpha }_i$$

• ${\alpha }_i$：这是优化变量，称为拉格朗日乘子。每个 ${\alpha }_i$ 与数据点 $x_i$ 相关，控制这个点在优化中的贡献。
• $y_i$ 和 $y_j$：分别是第 $i$ 和第 $j$ 个样本的标签，取值为 $\pm 1$。
• $(x_i\cdot x_j)$：是第 $i$ 和第 $j$ 个样本的内积，表示它们之间的相似度。
• 第一项 $\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^N{\sum }_{j=1}^N{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j(x_i\cdot x_j)$：
  • 这是一个二次项，用于描述样本点之间的相互作用。它将每对样本 $x_i$ 和 $x_j$ 的贡献通过拉格朗日乘子 ${\alpha }_i$ 和 ${\alpha }_j$ 结合在一起。目标是最小化这一项，从而找到一个最优的分类超平面。
• 第二项 ${\sum }_{i=1}^N{\alpha }_i$：
  • 这是一个线性项，用于拉格朗日乘子 ${\alpha }_i$ 的惩罚。目标是使得误分类样本的贡献尽量小。

(2) 约束条件：

$$\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i=0,0\le {\alpha }_i\le C,i=1,2,\dots ,N$$

• ${\sum }_{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i=0$：
  • 这是优化问题中的一个线性约束条件，确保支持向量机的决策函数正确地分隔正类和负类数据。
• $0\le {\alpha }_i\le C$：
  • 这是每个拉格朗日乘子的约束，表示 ${\alpha }_i$ 必须在 0 和 $C$ 之间。这里的 $C$ 是惩罚系数，控制误分类点的惩罚权重。较大的 $C$ 值会减少误分类点的数量。

3. 目标函数的直观解释：

(1) 第一项 $\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^N{\sum }_{j=1}^N{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j(x_i\cdot x_j)$：

这一项描述了每对样本 $x_i$ 和 $x_j$ 之间的相互作用：

• ${\alpha }_i{\alpha }_j$：表示每个样本对目标函数的贡献。
• $y_i{y}_j$：由于 $y_i,y_j$ 取值为 $\pm 1$，这项确保了同类样本（即 $y_i=y_j$）对目标函数的贡献为正，异类样本（即 $y_i\ne y_j$）对目标函数的贡献为负。
• $(x_i\cdot x_j)$：是样本之间的相似度。它表示两个样本的内积，内积越大，表示两个样本越相似。

通过最小化这一项，我们希望找到一个超平面，使得同类样本之间的距离尽量远（即分类边界尽量远离异类样本），而异类样本之间的距离尽量远。

(2) 第二项 ${\sum }_{i=1}^N{\alpha }_i$：

这一项是一个线性项，表示对拉格朗日乘子 ${\alpha }_i$ 的总和进行惩罚。我们希望通过最小化这一项，来减少误分类样本点的数量。

4. 对偶问题的优势：

• 对偶问题比原始问题更易求解：通过对偶问题，我们可以将原本需要优化 $w$ 和 $b$ 的问题转化为只需要优化拉格朗日乘子 ${\alpha }_i$ 的问题。对偶问题的优化只依赖于数据点之间的内积，这使得我们可以通过核函数扩展到更高维的特征空间。
• 核方法的引入：由于对偶问题只涉及数据点之间的内积，因此我们可以使用核函数来代替内积，从而实现非线性分类。

5. 约束条件的作用：

(1) ${\sum }_{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i=0$：

这个约束条件确保优化过程中的拉格朗日乘子满足平衡条件，即支持向量机的决策函数能够正确地将正类和负类数据分开。

(2) $0\le {\alpha }_i\le C$：

这个条件限制了每个拉格朗日乘子的范围。这里的 $C$ 是惩罚系数，控制模型对误分类的容忍度。如果 $C$ 很大，模型会尽量减少误分类，反之则会允许更多的误分类样本。

6. 对偶问题的几何意义：

• 在对偶问题中，拉格朗日乘子 ${\alpha }_i$ 表示每个样本点对决策边界的贡献。只有那些 ${\alpha }_i>0$ 的样本点被称为支持向量，它们决定了最终的分类边界。
• 非支持向量的 ${\alpha }_i=0$，意味着这些点对分类边界没有贡献，它们位于超平面的外部，且对决策函数无关紧要。

7. 总结：

公式 9-40 表示了支持向量机的对偶问题，通过优化拉格朗日乘子 ${\alpha }_i$，我们可以找到最大化分类间隔并最小化误分类的超平面。这个对偶问题比原始问题更易求解，尤其适合大规模数据集。同时，核方法的引入使得我们可以在高维空间中进行非线性分类。