目录
1.AVL树的概念
2.AVL树的实现
2.1AVL树的结构
2.2AVL树的插入
2.2.1AVL树插入一个值的大概过程
2.2.2平衡因子的更新
2.2.3插入节点及更新平衡因子的代码实现(暂未实现旋转逻辑)
2.3旋转
2.3.1旋转的原则
2.3.2右单旋(处理parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1的情况)
2.3.3右单旋代码实现
2.3.4左单旋(处理parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1的情况)
2.3.5左单旋代码实现
2.3.6左右双旋(处理parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1的情况)
2.3.7左右双旋代码实现
2.3.8右左双旋(处理parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1的情况)
2.3.9右左双旋代码实现
2.4AVL树的查找
2.5AVL树平衡检测
3.参考代码
3.1AVLTree.h
3.2测试代码test.cpp
1.AVL树的概念
AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右⼦树都是AVL树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树,通过控制⾼度差去控制平衡。
AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡，就像⼀个⻛向标⼀样。
为什么要求⾼度差不超过1，⽽不是⾼度差是0呢？画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法作为⾼度差是0。
AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在 logN ，那么增删查改的效率也可以控制在 O(logN) ，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。
如下图就是一个AVL树，每一颗子树左右的高度差不超过1：
2.AVL树的实现
2.1AVL树的结构
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf;AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public://...
private:Node* _root == nullptr;
};2.2AVL树的插入
2.2.1AVL树插入一个值的大概过程
(1)插入一个值按二叉搜索树规则进行插入。
(2)新增节点以后，只会影响祖先节点的高度，也就是可能会影响部分祖先节点的平衡因子，所以更新从新增节点到根节点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根节点，有些情况更新到中间就可以停止了，具体情况下面再详细分析。
(3)更新平衡因子过程中没有出现问题(平衡因子为-1/0/1)，则插入结束。
(4)更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树进行旋转，旋转后本质是调节平衡因子，降低了子树的高度，不会再影响上一层，所以插入结束。
2.2.2平衡因子的更新
(1)平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度。
(2)只有子树高度变化才会影响当前节点的平衡因子。
(3)插入节点，会增加高度，所以新增节点在parent的右子树，parent的平衡因子++，新增节点在parent的左子树，parent平衡因子--。
(4)parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新。
更新停止条件：
(1)更新后parent的平衡因⼦等于0，说明更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。
(2)更新后parent的平衡因⼦等于1 或 -1，说明更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响arent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上更新。
(3)更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2，说明更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插⼊结束。
总结：
(1)插入新增节点，parent平衡因子为0，插入结束，不需要更新。
(2)插入新增节点，parent平衡因子为-1/1，继续向上更新。
(3)插入新增节点，parent平衡因子为-2/2，需要进行旋转处理，处理完之后，子树高度下降，不需要继续往上更新。
下面举例说明上述更新的情况：
更新到10结点，平衡因⼦为2，10所在的⼦树已经不平衡，需要旋转处理：
更新到中间结点，3为根的⼦树⾼度不变，不会影响上⼀层，更新结束：
最坏更新到根停⽌：
2.2.3插入节点及更新平衡因子的代码实现(暂未实现旋转逻辑)
旋转操作在下面进行详细的讲解。
bool Insert(const pair<K, V>& kv){//空树直接插入节点，当成根节点if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}//1. 按照二叉搜索树的规则插入元素Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;//连接父亲节点cur->_parent = parent;//2. 更新平衡因子while (parent){//插入在parent左边_bf--，插入在右边_bf++if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;//父亲节点平衡因子为0，插入结束if (parent->_bf == 0)break;//父亲节点平衡因子为-1/1，继续往上更新else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}//父亲节点平衡因子为2/-2，进行旋转操作，更新结束，插入结束else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//旋转if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){//右单旋RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){//左单旋RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){//左右双旋RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){//右左双旋RotateRL(parent);}else{assert(false);}break;}else{assert(false);}}return true;}2.3旋转
2.3.1旋转的原则
(1)旋转完之后保持二叉搜索树的规则。
(2)让旋转的树从不平衡变成平衡，其次降低被旋转子树的高度。
旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋，针对不同的四种情况，使用不同的旋转。
2.3.2右单旋(处理parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1的情况)
(1)下图展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种。
(2)在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太深了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。
(3)旋转核⼼步骤，因为5 < b⼦树的值 < 10，将b变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。并且旋转之后每个节点的平衡因子符合规则且根节点的平衡因子为0，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。
2.3.3右单旋代码实现
void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;//将parent的左指针指向subL的右子树//如果subLR不为空，将其父亲指针指向parentparent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;//记录parent的父亲节点Node* pParent = parent->_parent;//subL的右指针指向parent//parent的父亲指针指向subLsubL->_right = parent;parent->_parent = subL;//parent为根节点，更新根节点if (parent == _root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else {if (pParent->_left == parent)pParent->_left = subL;elsepParent->_right = subL;subL->_parent = pParent;}subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}2.3.4左单旋(处理parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1的情况)
(1)下图展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有左单旋的场景，实际左单旋形态有很多种，具体跟上⾯右单旋类似。
(2)在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从1变成2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太深了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。
(3)旋转核⼼步骤，因为10 < b⼦树的值 < 15，将b变成10的右⼦树，10变成15的左⼦树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。并且旋转之后每个节点的平衡因子符合规则且根节点的平衡因子为0，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。
2.3.5左单旋代码实现
void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* pParent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (pParent->_left == parent)pParent->_left = subR;elsepParent->_right = subR;subR->_parent = pParent;}subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}2.3.6左右双旋(处理parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1的情况)
通过下列两幅图可以看到，左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边⾼，需要⽤两次旋转才能解决，以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。
上述两幅图分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为8和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。
场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。
场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。
场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。
注：从结果上来看，就是将subL的右指针指向subLR的左子树，parent的左指针指向subLR的右子树，subLR作为新的根，左右指针分别指向subL和parent。
2.3.7左右双旋代码实现
void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;//记录subLR的平衡因子，用于后续更新平衡因子int bf = subLR->_bf;RotateL(subL);RotateR(parent);// h == 0的情况if (bf == 0){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1) //插入到b的右边的情况{subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;} else if (bf == -1) //插入到b的左边的情况{subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else{assert(false);}}2.3.8右左双旋(处理parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1的情况)
(1)跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为12和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单旋，右单旋需要动b树中的右⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。
场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为-1，旋转后10和12平衡因⼦为0，15平衡因⼦为1。
场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因⼦为-1。
场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为0，旋转后10和12和15平衡因⼦均为0。
2.3.9右左双旋代码实现
void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;//记录subRL的平衡因子，用于后续更新平衡因子int bf = subRL->_bf;RotateL(subR);RotateR(parent);// h == 0的情况if (bf == 0){subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1) //插入到b的右边的情况{subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1) //插入到b的左边的情况{subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}2.4AVL树的查找
按⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O(logN)，可以参考C++模拟实现二叉搜索树中二叉搜索树的查找。
2.5AVL树平衡检测
我们实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右⼦树⾼度差的的程序进⾏反向验证，同时检查⼀下结点的平衡因⼦更新是否出现了问题。
3.参考代码
3.1AVLTree.h
#pragma once
#include <iostream>
#include <assert.h>
using namespace std;template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf;AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){//空树直接插入节点，当成根节点if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}//1. 按照二叉搜索树的规则插入元素Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;//连接父亲节点cur->_parent = parent;//2. 更新平衡因子while (parent){//插入在parent左边_bf--，插入在右边_bf++if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;//父亲节点平衡因子为0，插入结束if (parent->_bf == 0)break;//父亲节点平衡因子为-1/1，继续往上更新else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}//父亲节点平衡因子为2/-2，进行旋转操作，更新结束，插入结束else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//旋转if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){//右单旋RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){//左单旋RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){//左右双旋RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){//右左双旋RotateRL(parent);}else{assert(false);}break;}else{assert(false);}}return true;}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;//将parent的左指针指向subL的右子树//如果subLR不为空，将其父亲指针指向parentparent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;//记录parent的父亲节点Node* pParent = parent->_parent;//subL的右指针指向parent//parent的父亲指针指向subLsubL->_right = parent;parent->_parent = subL;//parent为根节点，更新根节点if (parent == _root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else {if (pParent->_left == parent)pParent->_left = subL;elsepParent->_right = subL;subL->_parent = pParent;}subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* pParent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (pParent->_left == parent)pParent->_left = subR;elsepParent->_right = subR;subR->_parent = pParent;}subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == -1) //插入到b的左边的情况{//这里双旋也更新subLR和parent的平衡因子//是为了防止单旋不更新平衡因子//为了防止双旋更新平衡因子的逻辑跟单旋耦合subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1) //插入到b的右边的情况{//这里也更新subLR和subL的平衡因子subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0) //b的 h==0 的情况{subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{//防御式编程,出现意外情况直接断言报错assert(false);}}void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == -1){subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == 0){subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{//防御式编程,出现意外情况直接断言报错assert(false);}}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}int Height(){return _Height(_root);}int Size(){return _Size(_root);}bool IsBalanceTree(){return _IsBalanceTree(_root);}
private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);}int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}int _Size(Node* root){if (root == nullptr)return 0;return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;}bool _IsBalanceTree(Node* root){// 空树也是AVL树if (nullptr == root)return true;// 计算pRoot结点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);int diff = rightHeight - leftHeight;// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树if (abs(diff) >= 2){cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;return false;}if (root->_bf != diff){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);}Node* _root = nullptr;
};3.2测试代码test.cpp
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;#include "AVLTree.h"void TestAVLTree1()
{AVLTree<int, int> t;// 常规的测试⽤例int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };// 特殊的带有双旋场景的测试⽤例//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };for (auto e : a){t.Insert({ e, e });}t.InOrder();cout << t.IsBalanceTree() << endl;
}// 插⼊⼀堆随机值，测试平衡，顺便测试⼀下⾼度和性能等
void TestAVLTree2()
{const int N = 1000000;vector<int> v;v.reserve(N);srand(time(0));for (size_t i = 0; i < N; i++){v.push_back(rand() + i);}size_t begin2 = clock();AVLTree<int, int> t;for (auto e : v){t.Insert(make_pair(e, e));}size_t end2 = clock();cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;cout << t.IsBalanceTree() << endl;cout << "Height:" << t.Height() << endl;cout << "Size:" << t.Size() << endl;size_t begin1 = clock();// 确定在的值/*for (auto e : v){t.Find(e);}*/// 随机值for (size_t i = 0; i < N; i++){t.Find((rand() + i));}size_t end1 = clock();cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;
}int main()
{//TestAVLTree1();TestAVLTree2();return 0;
}