【题解】【递归,递推】—— [NOIP2001 普及组] 数的计算
- [NOIP2001 普及组] 数的计算
- 题目描述
- 输入格式
- 输出格式
- 输入输出样例
- 输入 #1
- 输出 #1
- 提示
- 样例 1 解释
- 数据规模与约定
- 说明
- 思路1.记忆化递归
- 1.1.思路解析
- 1.2.AC代码
- 思路2.递推法
- 2.1.思路解析
- 2.2.AC代码
- 后记
[NOIP2001 普及组] 数的计算
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题目描述
给出正整数 n n n,要求按如下方式构造数列:
- 只有一个数 n n n 的数列是一个合法的数列。
- 在一个合法的数列的末尾加入一个正整数,但是这个正整数不能超过该数列最后一项的一半,可以得到一个新的合法数列。
请你求出,一共有多少个合法的数列。两个合法数列 a , b a, b a,b 不同当且仅当两数列长度不同或存在一个正整数 i ≤ ∣ a ∣ i \leq |a| i≤∣a∣,使得 a i ≠ b i a_i \neq b_i ai=bi。
输入格式
输入只有一行一个整数,表示 n n n。
输出格式
输出一行一个整数,表示合法的数列个数。
输入输出样例
输入 #1
6
输出 #1
6
提示
样例 1 解释
满足条件的数列为:
- 6 6 6
- 6 , 1 6, 1 6,1
- 6 , 2 6, 2 6,2
- 6 , 3 6, 3 6,3
- 6 , 2 , 1 6, 2, 1 6,2,1
- 6 , 3 , 1 6, 3, 1 6,3,1
数据规模与约定
对于全部的测试点,保证 1 ≤ n ≤ 1 0 3 1 \leq n \leq 10^3 1≤n≤103。
说明
本题数据来源是 NOIP 2001 普及组第一题,但是原题的题面描述和数据不符,故对题面进行了修改,使之符合数据。原题面如下,谨供参考:
我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的正整数 n n n)。
先输入一个正整数 n n n( n ≤ 1000 n \le 1000 n≤1000),然后对此正整数按照如下方法进行处理:
- 不作任何处理;
- 在它的左边拼接一个正整数,但该正整数不能超过原数,或者是上一个被拼接的数的一半;
- 加上数后,继续按此规则进行处理,直到不能再加正整数为止。
感谢 @dbxxx 对本题情况的反馈,原题面的问题见本贴。
思路1.记忆化递归
1.1.思路解析
首先定义一个递归函数sol(int x)
,返回以x
开头的合法的数列的个数。
分析样例,我们可以得出, s o l ( x ) = 1 + s o l ( 1 ) + s o l ( 2 ) + ⋯ + s o l ( x / 2 ) sol(x)=1+sol(1)+sol(2)+\dots+sol(x/2) sol(x)=1+sol(1)+sol(2)+⋯+sol(x/2)(这里会自动向下取整)。很容易就能变写出以下代码:
int sol(int x)//sol(x)表示表示由数x开头的合法的数列有几个
{if(x==1)//递归边界return 1;int tot=1;//储存答案,自己也算一种for(int i=x/2;i>=1;i--)//从大的开始枚举tot+=sol(i);return tot;
}
虽然也能通过 ,但只要数据范围稍微大一点就不行了,因为产生了大量的重复计算。例如f(2)
可能被f(4)
调用,也可能被f(8)
调用……尤其当数据特别大的时候。这个时候,我们就需要使用记忆化递归了。
记忆化递归,顾名思义,就是将之前计算过的答案缓存下来,如果之后再用到就直接调用就行了。具体实现如下:
定义一个数组f
,f[i]
表示以i
开头的合法数列的个数,将其初始化为-1
。递归时,只要f[x]!=-1
,代表f[x]
之前已经计算过了,直接返回f[x]
。否则就计算,最后将答案保存下来。
1.2.AC代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,f[1010];//f[i]表示由数i开头的合法的数列有几个,用来缓存答案
int sol(int x)//sol(x)表示表示由数x开头的合法的数列有几个
{if(x==1)//递归边界return 1;if(f[x]!=-1)//直接返回前面记录好的return f[x];int tot=1;//自己也算一种for(int i=x/2;i>=1;i--)//从大的开始枚举tot+=sol(i);return f[x]=tot;//保存答案
}
int main()
{memset(f,-1,sizeof(f));//初始化,f[i]为-1就代表还没有被记录cin>>n;cout<<sol(n);//调用递归函数return 0;
}
思路2.递推法
2.1.思路解析
递归和递推往往都可以互相转换,这里也给出一种等价的递推写法。
定义一个数组f
,f[i]
表示以i
开头的合法数列的个数。根据我们上面的推理,得到递推公式 f [ x ] = 1 + f [ 1 ] + f [ 2 ] + ⋯ + f [ x / 2 ] f[x]=1+f[1]+f[2]+\dots+f[x/2] f[x]=1+f[1]+f[2]+⋯+f[x/2]和递推边界 f [ 1 ] = 1 f[1]=1 f[1]=1。请读者尝试自己实现。
2.2.AC代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int n,f[1010]={0,1};//初始条件 cin>>n;for(int i=2;i<=n;i++){f[i]+=1;//自己也算一种 for(int j=1;j<=i/2;j++)//递推式:f[i]=1+f[1]+f[2]+...f[i/2] f[i]+=f[j];}cout<<f[n];return 0;
}
后记
正如我上面所说,递归
和递推
往往都可以互相转换。这是因为他们都遵从一个原则:将大问题分解成许多规模较小的子问题,子问题再分解为更小的子问题,直到遇到边界,返回归纳整理解决大问题。下表提供了递归和递推的区别。
递归 | 递推 | |
---|---|---|
性质上 | 实现方式 | 算法 |
实现上 | 递归函数 | 多使用循环 |
分析上 | 相比较递推,较难分析时间复杂度 | 相比较递推,更容易分析时间复杂度 |
效率上 | 一般效率较低,可使用记忆化递归优化 | 一般效率较高 |
理解上 | 较难理解 | 较容易理解 |
总之,它们的性质都是差不多的。后面的动态规划
也会用到这种思想,是必学的算法之一。
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