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[NOIP2001 普及组] 数的计算

通往洛谷的传送门

题目描述

给出正整数 $n$，要求按如下方式构造数列：

1. 只有一个数 $n$ 的数列是一个合法的数列。
2. 在一个合法的数列的末尾加入一个正整数，但是这个正整数不能超过该数列最后一项的一半，可以得到一个新的合法数列。

请你求出，一共有多少个合法的数列。两个合法数列 $a,b$ 不同当且仅当两数列长度不同或存在一个正整数 $i\le |a|$，使得 $a_i\ne b_i$。

输入格式

输入只有一行一个整数，表示 $n$。

输出格式

输出一行一个整数，表示合法的数列个数。

输入输出样例

输入 #1

6

输出 #1

6

提示

样例 1 解释

满足条件的数列为：

• $6$
• $6,1$
• $6,2$
• $6,3$
• $6,2,1$
• $6,3,1$

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1\le n\le 10^3$。

说明

本题数据来源是 NOIP 2001 普及组第一题，但是原题的题面描述和数据不符，故对题面进行了修改，使之符合数据。原题面如下，谨供参考：

我们要求找出具有下列性质数的个数（包含输入的正整数 $n$）。

先输入一个正整数 $n$（$n\le 1000$），然后对此正整数按照如下方法进行处理：

1. 不作任何处理；
2. 在它的左边拼接一个正整数，但该正整数不能超过原数，或者是上一个被拼接的数的一半；
3. 加上数后，继续按此规则进行处理，直到不能再加正整数为止。

感谢 @dbxxx 对本题情况的反馈，原题面的问题见本贴。

思路1.记忆化递归

1.1.思路解析

    首先定义一个递归函数sol(int x)，返回以x开头的合法的数列的个数。

    分析样例，我们可以得出，$sol(x)=1+sol(1)+sol(2)+\cdots +sol(x/2)$（这里会自动向下取整）。很容易就能变写出以下代码：

int sol(int x)//sol(x)表示表示由数x开头的合法的数列有几个
{if(x==1)//递归边界return 1;int tot=1;//储存答案,自己也算一种for(int i=x/2;i>=1;i--)//从大的开始枚举tot+=sol(i);return tot;
}

    虽然也能通过 ，但只要数据范围稍微大一点就不行了，因为产生了大量的重复计算。例如f(2)可能被f(4)调用，也可能被f(8)调用……尤其当数据特别大的时候。这个时候，我们就需要使用记忆化递归了。

    记忆化递归，顾名思义，就是将之前计算过的答案缓存下来，如果之后再用到就直接调用就行了。具体实现如下：

    定义一个数组f，f[i]表示以i开头的合法数列的个数，将其初始化为-1。递归时，只要f[x]!=-1，代表f[x]之前已经计算过了，直接返回f[x]。否则就计算，最后将答案保存下来。

1.2.AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,f[1010];//f[i]表示由数i开头的合法的数列有几个,用来缓存答案
int sol(int x)//sol(x)表示表示由数x开头的合法的数列有几个
{if(x==1)//递归边界return 1;if(f[x]!=-1)//直接返回前面记录好的return f[x];int tot=1;//自己也算一种for(int i=x/2;i>=1;i--)//从大的开始枚举tot+=sol(i);return f[x]=tot;//保存答案
}
int main()
{memset(f,-1,sizeof(f));//初始化,f[i]为-1就代表还没有被记录cin>>n;cout<<sol(n);//调用递归函数return 0;
}

思路2.递推法

2.1.思路解析

    递归和递推往往都可以互相转换，这里也给出一种等价的递推写法。

    定义一个数组f，f[i]表示以i开头的合法数列的个数。根据我们上面的推理，得到递推公式$f[x]=1+f[1]+f[2]+\cdots +f[x/2]$和递推边界$f[1]=1$。请读者尝试自己实现。

2.2.AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int n,f[1010]={0,1};//初始条件 cin>>n;for(int i=2;i<=n;i++){f[i]+=1;//自己也算一种 for(int j=1;j<=i/2;j++)//递推式:f[i]=1+f[1]+f[2]+...f[i/2] f[i]+=f[j];}cout<<f[n];return 0;
}

后记

    正如我上面所说，递归和递推往往都可以互相转换。这是因为他们都遵从一个原则：将大问题分解成许多规模较小的子问题，子问题再分解为更小的子问题，直到遇到边界，返回归纳整理解决大问题。下表提供了递归和递推的区别。

	递归	递推
性质上	实现方式	算法
实现上	递归函数	多使用循环
分析上	相比较递推，较难分析时间复杂度	相比较递推，更容易分析时间复杂度
效率上	一般效率较低，可使用记忆化递归优化	一般效率较高
理解上	较难理解	较容易理解

    总之，它们的性质都是差不多的。后面的动态规划也会用到这种思想，是必学的算法之一。

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